Le chant des dunes : valider un modèle physique

Réservé aux candidats de spécialité, cet exercice du bac S 2014 de Nouvelle-Calédonie est noté sur 5 points, pour environ 50 minutes. Il s'intéresse à un phénomène spectaculaire : lors d'une avalanche, certaines dunes émettent un son grave et puissant. Le sujet comprend des questions préalables, puis un problème ouvert dans lequel il faut établir l'expression de la fréquence du son et la confronter à des mesures faites sur cinq dunes. C'est un exercice de démarche scientifique : protocole, modélisation, comparaison avec l'expérience et regard critique.

Questions préalables : avalanche ou vent, et analogie avec le haut-parleur

Pour savoir si le son vient de l'avalanche ou du vent, on ne fait varier qu'un facteur à la fois : un jour sans vent, on provoque une avalanche depuis la crête ; un jour de vent, sans avalanche, on écoute la dune. L'analogie demandée relie la membrane d'un haut-parleur, qui fait vibrer l'air par son va-et-vient, à la surface de la dune : lorsque la couche supérieure glisse, chaque grain monte sur le grain du dessous puis redescend dans le creux suivant. La surface se soulève et retombe périodiquement et fait vibrer l'air à la même fréquence. Répondre seulement « la dune vibre » ne suffit pas.

Le problème : établir la fréquence

Le schéma attendu montre des grains sphériques identiques, empilés de façon compacte : deux creux voisins sont séparés d'un diamètre d. Pendant ce trajet, la surface monte et redescend une fois, la durée correspond donc à une période T. Avec la vitesse v = 0,4√(gd) fournie, on obtient f = v/d, puis f = 0,4√(g/d) en écrivant d = √d × √d.

Confronter le modèle aux mesures

On calcule la fréquence prévue pour la taille annoncée des grains et pour les deux bornes de son intervalle d'incertitude, en convertissant les micromètres en mètres. Pour Oméga 1, avec d = 160 µm, on trouve environ 100 Hz, valeur égale à la mesure. Il faut aussi noter que la fréquence diminue quand d augmente : la plus grande taille donne la plus petite fréquence. Pour quatre dunes, la fréquence mesurée tombe dans l'intervalle prévu. Pour le Cerro Bramador, elle en sort de 1 Hz seulement : 70 Hz mesurés pour une borne à 71 Hz.

Le regard critique

Le modèle donne le bon ordre de grandeur, autour de 100 Hz, et le bon sens de variation : les plus gros grains produisent le son le plus grave. Les fréquences mesurées ne sont accompagnées d'aucune incertitude, alors que les spectres montrent des pics larges de plusieurs hertz : un écart de 1 Hz n'est donc pas significatif. Le coefficient 0,4 et g = 10 m·s^-2 n'ont qu'un chiffre significatif, et les grains réels ne sont ni sphériques ni identiques. Enfin, cinq dunes aux grains de tailles voisines ne permettent pas un test très sévère. Conclusion : le modèle est compatible avec les mesures.

Pièges et conseils

L'erreur la plus coûteuse est de laisser d en micromètres dans le calcul. La seconde est d'associer la plus grande taille à la plus grande fréquence. Retenez la méthode : comparer une mesure à un modèle, c'est vérifier un recouvrement d'intervalles, pas une égalité entre deux nombres. Présentez vos résultats dans un tableau, avec deux chiffres significatifs, puis discutez les écarts avant de conclure.