Un long exercice de mécanique et d'ondes

L'exercice 2 du bac S 2019 Nouvelle-Calédonie pèse 11 points, plus de la moitié de la note : il mérite environ 1 h 50. Il suit un satellite chargé de localiser des balises à la surface de la Terre, en trois parties indépendantes. La première traite du mouvement circulaire du satellite, la deuxième de l'effet Doppler qui permet la localisation, la troisième du décollage de la fusée qui le met en orbite. On y retrouve trois piliers du programme : deuxième loi de Newton, satellites et effet Doppler, tous encore étudiés aujourd'hui.

Partie 1 : le satellite en orbite circulaire

Force et vitesse

La force exercée par la Terre s'écrit avec la distance R + h entre le centre de la Terre et le satellite, et le vecteur unitaire dirigé vers la Terre, sans signe moins puisqu'il pointe déjà dans le bon sens. Écrire h² au dénominateur est l'erreur la plus fréquente. La démonstration de la vitesse (1.2) suit une méthode à connaître : système, référentiel géocentrique supposé galiléen, deuxième loi de Newton, puis accélération centripète v²/(R + h) d'un mouvement circulaire uniforme. En égalant les deux expressions, la masse du satellite se simplifie.

Applications numériques

Avec R + h = 7 221 km, converti en mètres, on trouve v = 7,43 km/s. La période vient de la circonférence parcourue à vitesse constante : T = 6,11 × 10³ s, soit environ 1 h 42 min. La troisième loi de Kepler donne le même résultat à trois chiffres et sert de vérification.

Partie 2 : localiser une balise par effet Doppler

Domaine de l'onde et sens du mouvement

La fréquence de 401,6500 MHz correspond à une longueur d'onde de 0,747 m. La figure est graduée en nanomètres : après conversion, l'onde tombe dans le domaine des micro-ondes, juste avant la limite avec les ondes radio. À 12 h 56 min 12 s, la fréquence reçue est supérieure à la fréquence émise : le satellite s'approche de la balise.

Le passage au plus près

Le piège de la question 2.3 est de chercher un minimum sur la courbe. Le satellite est au plus près quand il passe à la verticale de la balise : sa vitesse est alors perpendiculaire à la droite de visée et la fréquence reçue est égale à la fréquence émise. La lecture donne 100 s après l'instant initial, soit 12 h 57 min 52 s. Comme l'orbite est connue, la position du satellite à cet instant donne celle de la balise.

Partie 3 : le décollage de la fusée

Deux forces seulement s'exercent sur la fusée juste après le décollage : le poids, vers le bas, et la poussée des gaz, vers le haut. N'ajoutez pas de force des gaz vers le bas : elle s'exerce sur les gaz, pas sur la fusée. Le poids, environ 2,2 × 10⁶ N, dépasse la poussée du premier étage seul : il faut au minimum trois propulseurs d'appoint, en arrondissant à l'entier supérieur. Avec six propulseurs, la deuxième loi de Newton donne une accélération de 7,1 m/s² vers le haut ; oublier le poids conduirait à une valeur fausse. La masse de carburant consommée en une seconde, environ 1,5 × 10³ kg, représente moins de 1 % de la masse de la fusée : l'hypothèse de masse constante est valable.

Conseils

Gérez le temps : les trois parties sont indépendantes, ne restez pas bloqué. Convertissez systématiquement en unités SI et justifiez une hypothèse « négligeable » par un rapport chiffré.