Des aurores polaires et des électrons : ce que demande l'exercice

Le troisième exercice du Bac S 2016 Centres étrangers, noté sur 5 points, est destiné aux candidats qui ne suivaient pas l'enseignement de spécialité. Il s'appuie sur un texte de vulgarisation imaginant un monde où les constantes fondamentales sont modifiées, puis revient à un phénomène bien réel : les aurores polaires, produites par des électrons qui pénètrent dans l'atmosphère. Le fil conducteur est simple : quand faut-il traiter une particule comme relativiste, et est-ce nécessaire ici ?

Les passages clés, question par question

La dilatation des durées

En 1.1.1, il suffit de montrer que le facteur γ est supérieur à 1 dès que la vitesse est non nulle et inférieure à c. Comme Δt = γΔt₀, la durée mesurée est plus longue que la durée propre : elle est bien « dilatée ». En 1.1.2, pour une vitesse égale à 10 % de c et Δt = 1,0 ns, on trouve Δt₀ = 0,99 ns. L'écart n'est que de 0,5 % : à cette vitesse, l'effet relativiste reste à peine décelable. Seul le rapport v/c intervient dans le calcul.

La question 1.1.3 demande d'interpréter le texte puis d'illustrer. Dans la vie courante, les vitesses sont infimes devant c, donc γ vaut pratiquement 1. Le corrigé choisit une valeur imaginaire c = 20 m·s^-1 et un cycliste à 10 m·s^-1 : γ vaut alors 1,15 et une heure pour le cycliste dure environ 1 h 09 min pour un passant immobile. Un exemple chiffré de ce type est exactement ce qu'attend le mot « illustrer ».

Énergie cinétique classique ou relativiste

En 1.2.1, deux arguments désignent la représentation (2) comme classique : elle est une droite passant par l'origine, puisque v²/c² est proportionnel à l'énergie cinétique dans ce modèle, et elle dépasse la valeur 1, ce qui reviendrait à une vitesse supérieure à c. En 1.2.2, on calcule v²/c² = 0,16 pour v = 1,2 × 10⁸ m·s^-1, puis on lit sur le graphe environ 0,041 MeV pour le modèle classique et 0,047 MeV pour le modèle relativiste. L'écart relatif, d'environ 13 %, dépasse le seuil de 10 % : l'électron doit être traité comme relativiste au-delà de cette vitesse.

Le photon visible et l'aurore

La question 2.1 attend un ordre de grandeur de la longueur d'onde du visible, environ 10^-6 m pour une valeur moyenne de 600 nm. La question 2.2 est ouverte : l'électron doit céder au moins l'énergie d'un photon visible, soit environ 3,3 × 10^-19 J, ou 2,1 eV. La vitesse correspondante, calculée en mécanique classique, vaut environ 8,5 × 10⁵ m·s^-1, quelque 140 fois moins que le seuil relativiste. Un électron non relativiste suffit donc.

Les pièges à éviter

En 1.1.2, multiplier par γ au lieu de diviser donne une durée propre plus grande que la durée mesurée, ce qui est impossible. En 1.2.2, entrer dans le graphe avec v/c = 0,40 au lieu de v²/c² = 0,16 fausse la lecture. Pense aussi que la vitesse de la lumière est une valeur à connaître. En 2.2, un calcul sans phrase rapporte peu : annonce l'hypothèse avant de calculer.

Conseils pour réussir

Dans une question ouverte, structure ta réponse en trois temps : démarche, calcul, comparaison explicite au critère. Une lecture graphique se fait à une demi-graduation près ; si le résultat est un peu différent, la conclusion doit rester la même. La relativité restreinte n'est plus au programme actuel de spécialité, mais l'exercice reste utile pour s'entraîner à l'énergie du photon et aux questions ouvertes.