Spécialité : le capodastre, une résolution de problème musicale

Le quatrième exercice du bac S Antilles-Guyane 2015 était réservé aux candidats de l'enseignement de spécialité. Noté sur 5 points et prévu pour environ cinquante minutes, il s'intéresse au capodastre, une pince que le guitariste fixe sur le manche pour jouer plus aigu sans changer de doigtés. Le sujet prend la forme d'une question préalable suivie d'une véritable résolution de problème, appuyée sur plusieurs documents : une photographie à l'échelle, les notes des cordes, un tableau de fréquences et la relation de la corde vibrante.

La question préalable : de quoi dépend la fréquence

Le document 4 donne la fréquence fondamentale d'une corde : f = (1/2L)·√(T/μ). Elle dépend donc de trois paramètres, la longueur L de la partie qui vibre, la tension T et la masse linéique μ. Le capodastre plaque la corde sur le manche : il raccourcit la longueur vibrante sans changer ni la corde ni sa tension. Seule L diminue, et comme la fréquence est inversement proportionnelle à la longueur, le son devient plus aigu.

Le problème : trois demi-tons au-dessus

Il faut montrer qu'avec le capodastre à la troisième case, la corde n°1 jouée à vide sonne trois demi-tons au-dessus du Mi₃. Le corrigé organise la démarche en quatre étapes.

D'abord, la fréquence attendue : monter d'un demi-ton multiplie la fréquence par 1,059, donc trois demi-tons au-dessus de 329,63 Hz donnent 1,059³ × 329,63 = 391,5 Hz.

Ensuite, la longueur vibrante : la corde vibre désormais entre la troisième frette et le chevalet. Sur la photographie, cette distance mesure 18,4 cm, tandis que la double flèche représentant 20 cm mesure 6,8 cm. La proportionnalité donne L = 54,1 cm, soit 0,541 m. Les longueurs mesurées dépendent de l'impression, mais seul leur rapport compte.

Puis la fréquence jouée : avec la tension de 74,85 N et la masse linéique convertie en 0,419 × 10⁻³ kg/m, la relation de la corde vibrante donne environ 3,9 × 10² Hz. Le piège principal est de laisser μ en grammes par mètre, ce qui fausserait complètement le résultat.

Enfin, la comparaison : environ 391 Hz calculés pour 391,5 Hz attendus, soit un écart de 0,2 %, bien inférieur à l'incertitude de la mesure sur la photographie, estimée à environ 1,5 %. Deux demi-tons donneraient 370 Hz et quatre demi-tons 415 Hz : seule l'hypothèse des trois demi-tons convient. La corde joue alors un Sol₃, que le tableau des fréquences place à 392,00 Hz.

Les pièges et la méthode

Outre la conversion de la masse linéique, il faut identifier la bonne longueur, celle qui va de la frette pressée par le capodastre jusqu'au chevalet, et non la longueur totale de la corde. Les chiffres significatifs comptent aussi : l'échelle mesurée à 6,8 cm limite la précision à deux chiffres, ce qui justifie l'écriture 3,9 × 10² Hz.

Une résolution de problème se rédige comme un raisonnement : annonce ce que tu cherches, relève dans chaque document la donnée utile, calcule, puis conclus par une comparaison chiffrée qui tient compte de la précision des mesures. Le correcteur valorise cette démarche autant que le résultat.

Pour s'entraîner aujourd'hui

La corde vibrante et la gamme tempérée relevaient de l'ancienne spécialité et ne figurent plus au programme actuel. L'exercice reste pourtant un très bon entraînement à l'exploitation de documents, aux mesures à l'échelle et à la rédaction d'une résolution de problème, des compétences évaluées dans tous les sujets.