Le plomb-210 possède $Z=82$ protons et $N=210-82=128$ neutrons. Sur la figure 1, la case ($Z=82$ ; $N=128$) porte la teinte associée, dans la légende, à la désintégration ${\beta }^{-}$.

D'après la figure 1, le plomb a pour numéro atomique $Z=82$ et le bismuth $Z=83$. On écrit : ${}_{}^{}{}_{82}^{210}\mathrm{Pb}\to {}_{}^{}{}_{83}^{210}\mathrm{Bi}+{}_{}^{}{}_{\mathrm{Z}}^{\mathrm{A}}\mathrm{X}$.

• Le nombre de nucléons se conserve : $210=210+A$, d'où $A=0$.
• La charge électrique se conserve : $82=83+Z$, d'où $Z=-1$.

La particule émise est un électron ${}_{}^{}{}_{-1}^0\mathrm{e}$, ce qui correspond bien à une désintégration ${\beta }^{-}$.

Le polonium-210 ($Z=84$ ; $N=126$) se trouve dans une case associée à la désintégration $\alpha$ : il émet un noyau d'hélium ${}_{}^{}{}_2^4\mathrm{He}$.

Conservations : $A=210-4=206$ et $Z=84-2=82$, numéro atomique du plomb.

$${}_{}^{}{}_{84}^{210}\mathrm{Po}\to {}_{}^{}{}_{82}^{206}\mathrm{Pb}+{}_{}^{}{}_2^4\mathrm{He}$$

Le plomb-206 ($Z=82$ ; $N=124$) occupe une case noire : c'est un noyau stable, qui ne se désintègre pas. La chaîne s'arrête donc avec lui.

On égalise les deux expressions de l'activité : $-\frac{\mathrm{d}N(t)}{\mathrm{d}t}=\lambda N(t)$.

En regroupant les termes dans le même membre :

On dérive la fonction proposée : $\frac{\mathrm{d}N(t)}{\mathrm{d}t}=-\lambda N_0{\mathrm{e}}^{-\lambda t}$.

On reporte dans le premier membre de l'équation :

$$\frac{\mathrm{d}N(t)}{\mathrm{d}t}+\lambda N(t)=-\lambda N_0{\mathrm{e}}^{-\lambda t}+\lambda N_0{\mathrm{e}}^{-\lambda t}=0$$

De plus $N(0)=N_0{\mathrm{e}}^0=N_0$ : la condition initiale est respectée.

La demi-vie est la durée au bout de laquelle la moitié des noyaux initialement présents s'est désintégrée : $N(t_{1/2})=\frac{N_0}{2}$.

$N_0{\mathrm{e}}^{-\lambda t_{1/2}}=\frac{N_0}{2}$, soit ${\mathrm{e}}^{-\lambda t_{1/2}}=\frac{1}{2}$.

En prenant le logarithme : $-\lambda t_{1/2}=\ln \left(\frac{1}{2}\right)=-\ln (2)$, d'où $t_{1/2}=\frac{\ln (2)}{\lambda }$.

Pour le plomb-210 : ${\lambda }_{\text{Pb}}=\frac{\ln (2)}{t_{1/2}}=\frac{\ln (2)}{22,2}$

L'activité est proportionnelle au nombre de noyaux, $A(t)=\lambda N(t)$, donc elle suit la même loi : $A(t)=A_0{\mathrm{e}}^{-{\lambda }_{\text{Pb}}t}$ avec $A_0={\lambda }_{\text{Pb}}{N}_0$.

Pour la glace âgée de $t$ : $\frac{A_{30}}{A_0}={\mathrm{e}}^{-{\lambda }_{\text{Pb}}t}$, donc $-{\lambda }_{\text{Pb}}t=\ln \left(\frac{A_{30}}{A_0}\right)$, soit

$$t=\frac{1}{{\lambda }_{\text{Pb}}}\ln \left(\frac{A_0}{A_{30}}\right)=\frac{t_{1/2}}{\ln (2)}\ln \left(\frac{A_0}{A_{30}}\right)$$

$t=\frac{22,2}{\ln (2)}\times \ln \left(\frac{110}{4,72}\right)=101\text{ans}$

Cet âge est inférieur à 150 ans : la méthode au plomb-210 est adaptée.

Année de formation : $1993-101=1892$.

Les 30 m de glace se sont accumulés en 101 ans : $e=\frac{30}{101}=0,30\text{m}$ par an.

Les liaisons sont représentées par des segments, les atomes de carbone et les atomes d'hydrogène qu'ils portent ne sont pas écrits.

• Groupe A : atome de brome $\mathrm{Br}$ lié à un atome de carbone, donc famille des composés halogénés (dérivés bromés).
• Groupe B : groupe amino $-\mathrm{NH}{}_2$ lié à un atome de carbone, donc famille des amines.

Pour $\mathrm{Ag}{}^{+}(\mathrm{aq})+\text{ligand(aq)}\rightleftarrows {\text{Ag(ligand)}}^{+}\text{(aq)}$, la constante d'équilibre est la valeur du quotient de réaction à l'équilibre :

$$K=\frac{\frac{[{\text{Ag(ligand)}}^{+}{]}_{\text{eˊq}}}{c^{\circ }}}{\frac{[\mathrm{Ag}{}^{+}{]}_{\text{eˊq}}}{c^{\circ }}\times \frac{[\text{ligand}{]}_{\text{eˊq}}}{c^{\circ }}}$$

D'après Q11, à l'équilibre :

$$\frac{[{\text{Ag(ligand)}}^{+}{]}_{\text{eˊq}}}{[\mathrm{Ag}{}^{+}{]}_{\text{eˊq}}}=K\times \frac{[\text{ligand}{]}_{\text{eˊq}}}{c^{\circ }}$$

Si le ligand est en très fort excès, sa concentration reste grande, même après réaction. Le rapport ci-dessus est alors très grand : à l'équilibre, il ne reste presque plus d'ions $\mathrm{Ag}{}^{+}$ libres, ils sont presque tous sous la forme ${\text{Ag(ligand)}}^{+}$.

L'espèce absorbe surtout autour de 516 nm, c'est-à-dire entre le cyan (500 nm) et le vert (530 nm).

La solution a la couleur complémentaire de la couleur absorbée, diamétralement opposée sur le cercle chromatique : le rouge est opposé au cyan, le magenta est opposé au vert.

$n_{\text{Ag},i}=[\mathrm{Ag}{}^{+}]\times V_{\mathrm{Ag}{}^{+}}$

$n_{\text{Ag},i}=7,4\times 10^{-6}\times 1,0\times 10^{-3}$

Sur la figure 4, l'absorbance augmente avec $V_L$ puis reste constante (environ 0,49) : il ne se forme plus de ${\text{Ag(ligand)}}^{+}$. Le palier débute pour $V_{\text{tot},L}=0,5$ mL.

$n_L=c_L\times V_{\text{tot},L}=1,0\times 10^{-3}\times 0,5\times 10^{-3}$

D'après l'équation (1), un ion $\mathrm{Ag}{}^{+}$ réagit avec une molécule de ligand. On compare donc directement les quantités introduites :

$$\frac{n_L}{n_{\text{Ag},i}}=\frac{5\times 10^{-7}}{7,4\times 10^{-9}}\approx 70$$

Le ligand est environ 70 fois plus abondant que les ions argent : il est en large excès et $\mathrm{Ag}{}^{+}$ est le réactif limitant.

Commentaire : si la transformation était totale, $7,4\times 10^{-9}$ mol de ligand suffiraient. Il en faut bien davantage parce que la réaction (1) est un équilibre : c'est l'excès de ligand qui la rend quasi-totale, en accord avec Q12.

Loi de Beer-Lambert, ${\text{Ag(ligand)}}^{+}$ étant la seule espèce qui absorbe à 516 nm : $A=\epsilon \times \ell \times [{\text{Ag(ligand)}}^{+}]$, avec $\epsilon$ le coefficient d'absorption molaire et $\ell$ l'épaisseur de solution traversée.

Bilan de matière, pour un avancement $x$ :

• $\mathrm{Ag}{}^{+}$ : $n_{\text{Ag},i}$ au départ, $n_{\text{Ag},i}-x$ en cours de réaction ;
• ligand : $n_L$ au départ, $n_L-x$ en cours de réaction ;
• ${\text{Ag(ligand)}}^{+}$ : $0$ au départ, $x$ en cours de réaction.

Le ligand est en excès, $\mathrm{Ag}{}^{+}$ est limitant. La réaction étant totale : $n_{\text{Ag},i}-x_{\text{max}}=0$, donc $n({\text{Ag(ligand)}}^{+}{)}_f=x_{\text{max}}=n_{\text{Ag},i}$.

En divisant par le volume $V$ du mélange : $[{\text{Ag(ligand)}}^{+}{]}_f=\frac{n_{\text{Ag},i}}{V}=c_{\text{Ag},i}$.

Le spectrophotomètre ne mesure pas d'absorbance supérieure à $A_{\text{max}}=0,9$. La plus grande concentration en quantité de matière mesurable est donc :

$c_{\text{max}}=\frac{A_{\text{max}}}{6,5\times 10^4}=\frac{0,9}{6,5\times 10^4}=1,4\times 10^{-5}\text{mol}\cdot {\text{L}}^{-1}$

Concentration en masse correspondante : $c_m=c_{\text{max}}\times M(\mathrm{Ag})$

$c_m=\frac{0,9}{6,5\times 10^4}\times 108=1,5\times 10^{-3}\text{g}\cdot {\text{L}}^{-1}$

Conversion : $1\text{g}\cdot {\text{L}}^{-1}=\frac{10^6\text{µg}}{10^3\text{mL}}=10^3\text{µg}\cdot {\text{mL}}^{-1}$, donc $c_m=1,5\text{µg}\cdot {\text{mL}}^{-1}$.