Un exercice de spécialité sur le hautbois

L'exercice 4 du Bac S 2017 Liban est réservé aux candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité. Noté sur 5 points, il s'appuie sur un instrument à vent, le hautbois, et sur trois documents : la description du tube, un tableau de fréquences des notes et une règle reliant la longueur du tube à la hauteur de la note. Il comporte une démonstration, un calcul commenté et une résolution de problème.

Question 1 : la fréquence fondamentale

Le tube est fermé du côté de l'anche et ouvert du côté du pavillon. Il faut donc placer un nœud de vibration à l'extrémité fermée et un ventre à l'extrémité ouverte. Comme un nœud et le ventre voisin sont distants d'un quart de longueur d'onde, le mode fondamental vérifie L = λ/4. Avec la relation entre longueur d'onde, vitesse et fréquence, on obtient f1 = v/(4L), l'expression attendue. Le corrigé rappelle au passage qu'un tube ouvert aux deux bouts donnerait L = λ/2 et f1 = v/(2L) : ne confonds pas les deux situations.

Question 2 : jouer un Mi grave

Tous trous bouchés, la note jouée est le fondamental du tube entier. En inversant la relation précédente, avec v = 350 m/s et une fréquence de 82,4 Hz, on obtient une longueur de 1,06 m. Le commentaire est attendu : un hautbois mesure une soixantaine de centimètres, il faudrait un tube presque deux fois plus long. Cette note est trop grave pour l'instrument. Trois chiffres significatifs conviennent ici, comme pour les données.

La résolution de problème : où jouer le Fa ?

Identifier la note de départ

Le tube mesure 66,8 cm tous trous bouchés. Sa fréquence fondamentale vaut environ 131 Hz. Comme monter d'une octave double la fréquence, cette valeur correspond au Do de l'octave 2, à 130,8 Hz. Ce premier pas est essentiel : sans la note de départ, impossible de compter les demi-tons.

Compter les demi-tons

Du Do au Fa, on monte de cinq demi-tons : Do, Do#, Ré, Ré#, Mi, Fa. Le document 3 indique que raccourcir le tube de 6 % monte la note d'un demi-ton, donc chaque demi-ton laisse 94 % de la longueur précédente.

Traduire en longueur

Pour cinq demi-tons successifs, on multiplie cinq fois par 0,94 : la longueur vaut environ 49 cm. Le piège majeur est de retrancher 5 × 6 % = 30 % : chaque raccourcissement porte sur la longueur déjà réduite, le facteur global vaut 0,734 et non 0,70.

Contrôler par un autre chemin

Le corrigé propose une vérification élégante : calculer la longueur qui joue le Mi de l'octave 2, environ 0,531 m, puis la raccourcir d'un demi-ton. On retrouve environ 0,499 m, à 1 cm près de la première démarche. La valeur étant inférieure à 66,8 cm, un trou ouvert à cette distance de l'anche convient. Comme le « 6 % » n'a qu'un chiffre significatif, on annonce environ 49 cm sans chercher le millimètre.

Conseils

Pour une résolution de problème, rédige les étapes : note de départ, nombre de demi-tons, longueur, contrôle et jugement de vraisemblance. Les modes de vibration d'une colonne d'air relevaient de l'ancien enseignement de spécialité et ne figurent plus au programme actuel, mais la démarche reste un bon modèle de raisonnement.