Radars et effet Doppler : de l'onde sonore à la vitesse d'un véhicule

Ce troisième exercice du bac S 2011 aux Antilles-Guyane vaut 4 points, soit environ 52 minutes. Il présente le principe des radars Doppler à partir d'un exemple sonore : un véhicule muni d'une sirène de fréquence 680 Hz, immobile puis en mouvement. La première partie est une série de sept affirmations à justifier, la seconde établit la formule de l'effet Doppler et l'applique au calcul d'une vitesse.

Partie 1 : sept affirmations « vrai ou faux »

Le son est une onde longitudinale et non transversale : les couches d'air se compriment et se dilatent dans la direction de propagation. Une onde mécanique se propage sans transport de matière, seulement avec un transport d'énergie ; l'affirmation est donc fausse, même si sa première moitié est juste. La longueur d'onde λ = c/f dépend du milieu, puisque la célérité en dépend : c'est la fréquence qui n'en dépend pas.

Les questions suivantes sont des calculs simples. Le retard pour parcourir 51,0 m vaut 51,0/340 = 0,150 s, et non 1,5 s. À la date t = 3T, le front d'onde a parcouru 3λ = 1,50 m, car λ = 0,500 m. Deux points distants de 55,0 m vibrent en phase, puisque cette distance vaut exactement 110 longueurs d'onde. Enfin, l'écho d'un obstacle situé à 680 m revient au bout de 4,00 s, car l'onde fait l'aller et le retour : oublier le facteur 2 est l'erreur classique.

Partie 2 : le véhicule en mouvement

Un milieu est dispersif si la célérité dépend de la fréquence ; l'air ne l'est pas pour les sons, sinon les notes graves et aiguës d'un orchestre n'arriveraient pas ensemble. Quand la source se rapproche, la longueur d'onde perçue devient λ' = λ - vT. En remplaçant λ' par c/f' et T par 1/f, on obtient f' = f × c/(c - v) : la fréquence perçue est plus élevée, le son est plus aigu. Quand le véhicule s'éloigne, il suffit de remplacer v par -v : λ'' = λ + vT et f'' = f × c/(c + v), le son est plus grave. C'est ce que l'on entend au passage d'une ambulance.

La dernière question demande la vitesse du véhicule qui se rapproche lorsque l'observateur perçoit 716 Hz. En isolant v, on trouve v = c (f' - f)/f' ≈ 17 m/s, soit environ 62 km/h. Pour la conversion, on multiplie par 3,6 la valeur complète et non la valeur déjà arrondie, sinon on obtient 61 au lieu de 62.

Conseils pour réussir

Dans un « vrai ou faux », chaque réponse doit être justifiée par une définition ou un calcul : une simple réponse ne rapporte rien. Gardez en tête que la célérité dépend du milieu et non du mouvement de la source, et vérifiez le sens de variation obtenu en le comparant à l'expérience quotidienne de la sirène.