Une lunette commerciale passée au crible

L'exercice 4 du sujet 2 d'Asie 2021, proposé au choix sur 5 points, part de la notice d'une lunette d'amateur vendue avec deux oculaires. On justifie le modèle afocal, on réalise les constructions géométriques, on établit le grossissement puis on vérifie l'argument commercial avant de l'appliquer à l'observation d'une étoile double. Onze questions, dont plusieurs constructions sur l'annexe.

Partie 1 : la lunette afocale

Questions 1 et 2

Un objet à l'infini a son image dans le plan focal image de l'objectif. Sur le schéma, le foyer image F1' coïncide avec le foyer objet F2 de l'oculaire : l'image finale est rejetée à l'infini. La justification attendue est cette lecture du schéma, et non la seule définition. Il en découle O1O2 = f1' + f2'.

Question 3 : retrouver la focale de l'objectif

En assimilant la longueur de 56 cm à O1O2, on obtient 55,4 cm avec l'oculaire de 6 mm et 54,8 cm avec celui de 12 mm, soit environ 55 cm. Le piège est d'oublier de convertir les millimètres en centimètres.

Partie 2 : constructions et grossissement

Questions 4 à 7 : tracer et exprimer les angles

L'objet étant à l'infini, un seul rayon suffit : celui qui passe par le centre optique O1, prolongé jusqu'au plan focal image. L'image intermédiaire A1B1 est renversée, en F1' = F2. Dans le triangle O1A1B1, tan α = A1B1 / f1'. Le rayon issu de B1 passant par O2 n'est pas dévié ; les rayons émergents sont parallèles, ce qui confirme une image à l'infini. L'angle α' se repère par rapport à l'axe optique, et tan α' = A1B1 / f2'.

Questions 8 et 9 : le grossissement

Le grossissement est le rapport α' / α. Avec l'approximation des petits angles exprimés en radians, G = f1' / f2'. Inverser ce rapport donnerait un grossissement inférieur à 1. Un oculaire de focale très courte devant celle de l'objectif donne donc un grossissement élevé.

Partie 3 : l'argument commercial et l'étoile double

Question 10

Avec f1' = 55 cm, l'oculaire de 6 mm donne G ≈ 92 et celui de 12 mm G ≈ 46. L'indication « jusqu'à 100 × » est cohérente, légèrement arrondie, et un second grossissement est possible.

Question 11 : une question ouverte

Les étoiles sont séparées si α' = G α dépasse le pouvoir séparateur de l'œil, 3,0 × 10⁻⁴ rad. On voit deux points avec l'oculaire de 6 mm et un seul avec celui de 12 mm. Chaque observation fournit une borne : 3,3 × 10⁻⁶ rad < α < 6,5 × 10⁻⁶ rad.

Conseils pour cet exercice

Tracez les constructions à la règle et nommez les points, rédigez les justifications à partir du schéma et gardez les focales dans la même unité. Pour une question ouverte, traduisez chaque observation en inégalité avant de calculer.