La mécanique d'un défi célèbre

L'exercice 3 du sujet 2 d'Asie 2021, proposé au choix sur 5 points, étudie le « water bottle flip » : lancer une bouteille partiellement remplie d'eau pour qu'elle retombe debout sur une table. On exploite une chronophotographie, on établit les équations horaires du centre de masse, on lit un programme Python puis on confronte le modèle à la mesure.

Partie 1 : la chronophotographie

Question 1 : le schéma

Le vecteur vitesse initiale part de O, incliné de l'angle α au-dessus de l'axe horizontal, tangent à une trajectoire parabolique. Ses coordonnées valent v0 cos α et v0 sin α. L'angle se marque par rapport à l'horizontale et non à la verticale.

Questions 2 et 3 : vitesse et angle

La vitesse initiale est assimilée à la vitesse moyenne entre les deux premières positions. Il faut passer par l'échelle, la bouteille de 18,8 cm servant de référence : on obtient 14,5 cm parcourus en 40 ms, soit environ 3,6 m/s. Oublier l'échelle ou laisser τ en millisecondes fausse tout. Pour l'angle, on trace la droite G0G1 et on mesure au rapporteur, ou on utilise la tangente dans un triangle rectangle : un angle ne dépend pas de l'échelle.

Partie 2 : le modèle

Questions 4 et 5 : de la loi de Newton aux équations horaires

Il faut préciser le système, le référentiel terrestre supposé galiléen et le bilan des forces, réduit au poids. La deuxième loi de Newton donne a = g, donc ax = 0 et ay = –g avec un axe vertical orienté vers le haut. Deux primitivations successives, chaque constante étant fixée par une condition initiale écrite, mènent à x(t) = v0 cos(α) t et y(t) = –½ g t² + v0 sin(α) t. Attention à ne pas intervertir cosinus et sinus.

Questions 6 et 7 : le programme Python

x(t) est proportionnelle au temps, c'est la droite (b) ; y(t) est une parabole tournée vers le bas, c'est le tracé (a). La ligne masquée contient v0*sin(alpha*pi/180) : la conversion en radians est indispensable car l'angle est saisi en degrés.

Partie 3 : modèle et réalité

Questions 8 à 10

La bouteille se pose quand G est à 2 cm au-dessus de la table : sur la phase de descente, le modèle donne environ 0,62 s. La durée mesurée, 0,50 ± 0,05 s, exclut cette valeur : l'écart ne vient pas de la seule incertitude. Explications possibles : conditions initiales issues d'un pointage peu précis, action de l'air négligée, eau en mouvement dans la bouteille. La distance d'arrivée prévue par le modèle est d'environ 1,1 m ; la distance réelle, le vol étant plus court, doit être plus faible, voisine de 0,9 m.

Conseils pour cet exercice

Rédigez complètement la mise en équation, car elle est attendue mot pour mot. Lisez le programme ligne par ligne, et pour comparer une valeur calculée à une mesure, vérifiez si elle appartient à l'intervalle donné par l'incertitude.