51Peg_b : mécanique céleste et optique dans un même exercice

L'exercice 4 du sujet Amérique du Nord 2022 (jour 1) est l'un des exercices de 5 points au choix, prévu pour environ 53 minutes. Il porte sur 51Peg_b, une exoplanète détectée grâce aux variations de vitesse de son étoile, 51Peg_a. La partie A exploite la troisième loi de Kepler pour retrouver le rayon de son orbite. La partie B se demande si l'on peut séparer la planète de son étoile, à l'œil nu puis avec une lunette astronomique afocale.

Les passages clés, question par question

A.1 : mesurer la période

Pour être précis, on mesure plusieurs périodes. Le graphique montre dix maximums, entre environ 0,7 jour et 38,8 jours : ils délimitent 9 périodes, d'où T ≈ 4,2 jours. Une lecture de 4,3 jours reste recevable selon le pointage.

A.2 : choisir la bonne loi de Kepler

L'analyse dimensionnelle, avec G en m³·s^-2·kg^-1, ne suffit pas : elle laisse deux expressions possibles. Il faut un second argument, physique : la masse qui intervient est celle de l'astre attracteur, ici 51Peg_a, et non celle du Soleil. On retient T²/r³ = 4π²/(G·M_{51Peg_a}).

A.3 et A.4 : rayon de l'orbite et comparaison

En isolant r et en convertissant la période en secondes, on trouve r = 7,5 × 10⁹ m, soit 7,5 × 10⁶ km, la valeur annoncée. La comparaison avec Mercure se fait par des rapports : les deux étoiles ont pratiquement la même masse, mais 51Peg_b est environ 8 fois plus proche de son étoile et en fait le tour environ 20 fois plus vite. Ces deux résultats sont cohérents avec la loi de Kepler.

B.1 : à l'œil nu

L'angle sous lequel on voit le système depuis la Terre vaut α = r/D = 1,7 × 10^-8 rad, très inférieur au pouvoir séparateur de l'œil, 3,0 × 10^-4 rad. Les deux longueurs doivent être exprimées dans la même unité.

B.2 et B.3 : la lunette afocale

Le tracé utilise deux rayons simples : celui qui passe par le foyer objet de l'objectif ressort parallèle à l'axe, celui qui passe par le centre optique n'est pas dévié. Ils se croisent dans le plan focal image de l'objectif, confondu avec le plan focal objet de l'oculaire. À la sortie, les rayons sont parallèles entre eux et forment l'angle α′ avec l'axe. Le grossissement s'établit avec deux triangles rectangles qui partagent l'image intermédiaire A₁B₁, et l'approximation des petits angles : G = f′₁/f′₂.

B.4 : avec le matériel disponible

Le meilleur oculaire, de distance focale 6,0 mm, donne G = 150 avec l'objectif de 900 mm. L'angle devient α′ = 2,5 × 10^-6 rad, toujours trop petit : la lunette ne permet pas de séparer la planète de son étoile. Il faudrait un grossissement d'environ 18 000, ce qui explique la détection indirecte de la planète.

Les pièges à éviter

Diviser par 10 au lieu de 9 pour la période, s'arrêter à l'analyse dimensionnelle, laisser la période en jours dans la loi de Kepler, mélanger kilomètres et mètres dans le calcul d'un angle, dévier le rayon qui passe par le centre optique ou faire converger les rayons à la sortie d'une lunette afocale.

Conseils pour réussir

Travaillez en unités SI dès qu'une constante comme G intervient. Pour une démonstration de grossissement, écrivez les deux triangles, l'approximation des petits angles et la simplification : c'est ce que « établir » exige. Et donnez deux chiffres significatifs aux résultats issus d'une lecture graphique.