Analyse de l'énoncé

Cet exercice est un classique du programme de Première Spécialité portant sur l'étude d'une fonction polynôme du troisième degré. L'objectif est de mobiliser les outils de la dérivation pour déterminer les variations de la fonction et d'exploiter le lien entre nombre dérivé et coefficient directeur de la tangente.

Points de vigilance et notions requises

• Calcul de la dérivée : Utilisation de la formule $(x^n)' = nx^{n-1}$.
• Signe d'un trinôme : Savoir reconnaître une identité remarquable pour simplifier l'étude du signe de la dérivée.
• Équation de la tangente : Appliquer la formule $y = f'(a)(x - a) + f(a)$.
• Parallélisme : Se souvenir que deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur.

Correction détaillée

1. Calcul de la dérivée :
La fonction $f$ est une fonction polynôme dérivable sur $\mathbb{R}$. On a : $f'(x) = 3x^2 + 6x + 3$.

2. Étude du signe de $f'(x)$ :
On remarque que $f'(x) = 3(x^2 + 2x + 1)$. En utilisant l'identité remarquable $(a+b)^2$, on obtient $f'(x) = 3(x+1)^2$. Un carré étant toujours positif ou nul, $f'(x) \geq 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. La dérivée ne s'annule qu'en $x = -1$.

3. Tableau de variations :
Comme $f'(x) > 0$ sur $\mathbb{R} \setminus \{-1\}$, la fonction $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

4. Tangente au point d'abscisse -1 :
Calculons $f'(-1) = 3(-1+1)^2 = 0$.
Calculons $f(-1) = (-1)^3 + 3(-1)^2 + 3(-1) - 63 = -1 + 3 - 3 - 63 = -64$.
L'équation est $y = f'(-1)(x - (-1)) + f(-1)$, soit $y = 0(x+1) - 64$, d'où $y = -64$. C'est une tangente horizontale.

5. Points où la tangente est parallèle à $y = 3x - 100$ :
Le coefficient directeur de la droite est $3$. On cherche donc $x$ tel que $f'(x) = 3$.
$3(x+1)^2 = 3 \iff (x+1)^2 = 1$.
Cela donne $x+1 = 1$ ou $x+1 = -1$, soit $x = 0$ ou $x = -2$.
Les points recherchés sont $A(0 ; f(0))$ soit $A(0 ; -63)$ et $B(-2 ; f(-2))$ soit $B(-2 ; -65)$.