Analyse de l'énoncé

Cet exercice de mathématiques pour la spécialité Première porte sur deux piliers majeurs du programme : les suites numériques (en particulier les suites arithmétiques) et les équations du second degré. L'énoncé utilise une situation concrète de géométrie (la pose de carreaux hexagonaux) pour introduire une modélisation mathématique par une suite.

Points de vigilance et notions requises

• Modélisation par une suite : Il faut bien distinguer le terme général de la suite $u_n$ (le nombre de carreaux ajoutés à une étape précise) de la somme $S_n$ (le nombre total de carreaux ajoutés) et enfin du nombre total de carreaux incluant le carreau central.
• Somme des termes d'une suite arithmétique : La formule de la somme des $n$ premiers entiers naturels, $1 + 2 + ... + n = \frac{n(n+1)}{2}$, est fondamentale ici.
• Résolution d'équation : Le passage d'une situation de cumul à une équation du second degré nécessite une bonne maîtrise du discriminant $\Delta$.

Correction détaillée et guide de résolution

1. Calcul de $u_3$ : Si la suite est arithmétique de raison $6$, on ajoute $6$ carreaux de plus qu'à l'étape précédente. Ainsi, $u_3 = u_2 + 6 = 12 + 6 = 18$.

2. Expression de $u_n$ : La suite $(u_n)$ est arithmétique de premier terme $u_1 = 6$ et de raison $r = 6$. La formule du cours est $u_n = u_1 + (n-1)r$. En remplaçant : $u_n = 6 + (n-1) \times 6 = 6 + 6n - 6 = 6n$.

3. Étape 5 et total : Pour l'étape 5, l'artisan ajoute $u_5 = 6 \times 5 = 30$ carreaux. Le nombre total de carreaux posés est le carreau central + $u_1 + u_2 + u_3 + u_4 + u_5$. En utilisant la formule donnée plus loin $3n^2 + 3n + 1$, pour $n=5$, on obtient $3(5^2) + 3(5) + 1 = 75 + 15 + 1 = 91$.

4. Somme $S_n$ : $S_n = 6 \times 1 + 6 \times 2 + ... + 6 \times n$. En factorisant par $6$, on a $S_n = 6(1 + 2 + ... + n)$. En utilisant la formule de la somme des entiers : $S_n = 6 \times \frac{n(n+1)}{2} = 3n(n+1) = 3n^2 + 3n$.

5. Détermination du nombre d'étapes : On cherche $n$ tel que $3n^2 + 3n + 1 = 2977$, soit $3n^2 + 3n - 2976 = 0$.
Calcul du discriminant : $\Delta = 3^2 - 4 \times 3 \times (-2976) = 9 + 35712 = 35721$.
$\sqrt{\Delta} = 189$.
La solution positive est $n = \frac{-3 + 189}{6} = \frac{186}{6} = 31$. L'artisan a donc réalisé 31 étapes.