Analyse de l'énoncé

Cet exercice de Mathématiques de Première Spécialité porte sur l'étude d'une fonction de la forme $f(x) = (ax + b)e^{kx}$. Ce type d'exercice est un classique des épreuves de contrôle continu et du baccalauréat, mêlant lecture graphique, calcul algébrique et analyse de variations. L'objectif est de mobiliser les propriétés de la fonction exponentielle et les règles de dérivation (produit $uv$).

Points de vigilance et notions requises

• Lien entre dérivée et tangente : Le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse $x_0$ est égal à $f'(x_0)$.
• Dérivation d'un produit : La formule $(uv)' = u'v + uv'$ est indispensable ici, avec $u(x) = ax+b$ et $v(x) = e^{-0,1x}$.
• Dérivée de $e^{kx}$ : Rappelons que la dérivée de $x \mapsto e^{u(x)}$ est $u' e^{u(x)}$. Ici, la dérivée de $e^{-0,1x}$ est $-0,1e^{-0,1x}$.
• Signe de l'exponentielle : Pour tout réel $X$, $e^X > 0$. Le signe de la dérivée dépendra donc uniquement du facteur affine.

Correction détaillée

1. Détermination de $b$ :
Le point $A(0;5)$ appartient à la courbe $\mathcal{C}_f$. On a donc $f(0) = 5$.
$f(0) = (a \times 0 + b)e^{-0,1 \times 0} = b \times e^0 = b$.
On en déduit immédiatement que $b = 5$.

2. a. Équation de la tangente $\mathcal{T}$ :
La droite $\mathcal{T}$ passe par $A(0;5)$ et $B(4;19)$. Son coefficient directeur est $m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{19 - 5}{4 - 0} = \frac{14}{4} = 3,5$.
L'ordonnée à l'origine est celle de A, soit 5. L'équation est donc $y = 3,5x + 5$.

2. b. Détermination de $a$ :
On calcule $f'(x)$ : soit $u(x) = ax+5$ ($u'=a$) et $v(x) = e^{-0,1x}$ ($v'=-0,1e^{-0,1x}$).
$f'(x) = a e^{-0,1x} + (ax+5)(-0,1)e^{-0,1x} = (a - 0,1ax - 0,5)e^{-0,1x}$.
On sait que $f'(0) = 3,5$ (coefficient directeur de la tangente en A).
$f'(0) = (a - 0,1(0) - 0,5)e^0 = a - 0,5$.
D'où $a - 0,5 = 3,5 \Rightarrow a = 4$. On a bien $f(x) = (4x + 5)e^{-0,1x}$.

Variations et Maximum

3. a. Dérivée :
En reprenant la formule avec $a=4$ et $b=5$ :
$f'(x) = 4e^{-0,1x} + (4x+5)(-0,1)e^{-0,1x} = (4 - 0,4x - 0,5)e^{-0,1x} = (-0,4x + 3,5)e^{-0,1x}$.

3. b. Maximum :
$e^{-0,1x} > 0$, donc $f'(x)$ est du signe de $-0,4x + 3,5$.
$-0,4x + 3,5 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{3,5}{0,4} = 8,75$.
La fonction est croissante sur $]-\infty ; 8,75]$ et décroissante sur $[8,75 ; +\infty[$.
Le maximum est atteint en $x = 8,75$ et vaut $f(8,75) = (4 \times 8,75 + 5)e^{-0,1 \times 8,75} = 40e^{-0,875} \approx 16,67$.