Analyse de l'énoncé

Cet exercice porte sur la modélisation de l'évolution d'une population de plantes (les chardons) à l'aide d'une suite. La structure de l'évolution combine une croissance proportionnelle (5 %) et un apport constant (15 m²). C'est le cas classique d'une suite arithmético-géométrique, une notion centrale du programme de mathématiques en classe de Première Spécialité. L'objectif est de transformer cette suite complexe en une suite géométrique simple à l'aide d'une suite auxiliaire afin de trouver une expression explicite du terme général.

Points de vigilance et notions requises

• Coefficients multiplicateurs : Une augmentation de 5 % correspond à multiplier par $1 + 0,05 = 1,05$.
• Nature des suites : Pour prouver qu'une suite n'est pas arithmétique, on compare $u_1 - u_0$ et $u_2 - u_1$. Pour prouver qu'elle n'est pas géométrique, on compare $\frac{u_1}{u_0}$ et $\frac{u_2}{u_1}$.
• Suite auxiliaire : La démonstration du caractère géométrique de $v_n$ nécessite de calculer $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$.
• Utilisation de la calculatrice : Une attention particulière doit être portée lors du calcul de $u_8$ pour vérifier si le seuil du doublement est atteint.

Correction détaillée et Guide de résolution

1. Calcul des premiers termes :
On a $u_0 = 300$.
$u_1 = 300 \times 1,05 + 15 = 330$.
$u_2 = 330 \times 1,05 + 15 = 361,5$.

2. Nature de la suite :
$u_1 - u_0 = 30$ et $u_2 - u_1 = 31,5$. Les différences ne sont pas constantes, donc $(u_n)$ n'est pas arithmétique.
$\frac{u_1}{u_0} = 1,1$ et $\frac{u_2}{u_1} \approx 1,095$. Les rapports ne sont pas égaux, donc $(u_n)$ n'est pas géométrique.

3. Étude de la suite auxiliaire $(v_n)$ :
$v_0 = u_0 + 300 = 600$.
Pour tout $n$, $v_{n+1} = u_{n+1} + 300$.
En remplaçant $u_{n+1}$, on obtient : $v_{n+1} = 1,05u_n + 15 + 300 = 1,05u_n + 315$.
On factorise par 1,05 : $v_{n+1} = 1,05(u_n + \frac{315}{1,05}) = 1,05(u_n + 300) = 1,05v_n$.
$(v_n)$ est donc géométrique de raison $q = 1,05$ et de premier terme $v_0 = 600$.

4. Expression générale :
$v_n = v_0 \times q^n = 600 \times 1,05^n$.
Comme $v_n = u_n + 300$, alors $u_n = v_n - 300 = 600 \times 1,05^n - 300$.

5. Analyse du doublement :
La surface initiale est 300 m². On cherche si $u_8 \geq 600$.
$u_8 = 600 \times 1,05^8 - 300 \approx 600 \times 1,4775 - 300 \approx 586,47$.
Comme $586,47 < 600$, il est incorrect d'affirmer que la surface a doublé.