Analyse de l'énoncé
Cet exercice de mathématiques pour la classe de Première Spécialité porte sur la modélisation de phénomènes évolutifs à l'aide des suites numériques. Il confronte deux types de croissance classiques : la croissance linéaire (suite arithmétique) pour la production de flacons, et la croissance exponentielle (suite géométrique) pour l'évolution des commandes potentielles. L'objectif est de comparer ces deux évolutions sur le long terme et d'utiliser l'outil informatique (Python) pour déterminer un seuil de dépassement.
Points de vigilance et notions requises
- Identification des suites : Une augmentation fixe en valeur absolue (108 flacons) caractérise une suite arithmétique. Une augmentation en pourcentage (3,8 %) caractérise une suite géométrique de raison $q = 1 + \frac{r}{100}$.
- Le rang des termes : Il est crucial de noter que $n=0$ correspond à janvier. Par conséquent, pour une année complète (de janvier à décembre), on travaille sur 12 termes, allant de $n=0$ à $n=11$.
- Sommes de suites : L'énoncé rappelle fort heureusement les formules de somme. Attention au nombre de termes : pour une somme de $u_0$ à $u_n$, il y a $n+1$ termes.
- Logique algorithmique : La boucle
while doit s'exécuter tant que la condition de dépassement n'est pas atteinte (tant que les commandes sont inférieures ou égales à la production).
Correction détaillée et guide de résolution
1. Calculs pour février 2020 ($n=1$) :
Pour la production : $f_1 = f_0 + 108 = 2500 + 108 = 2608$.
Pour les commandes : $c_1 = c_0 \times (1 + \frac{3,8}{100}) = 2500 \times 1,038 = 2595$.
2. Nature des suites :
$(f_n)$ est une suite arithmétique de premier terme $f_0 = 2500$ et de raison $r = 108$ car on ajoute une valeur constante chaque mois. $(c_n)$ est une suite géométrique de premier terme $c_0 = 2500$ et de raison $q = 1,038$ car chaque terme est obtenu en multipliant le précédent par un coefficient constant.
3. Expressions fonctionnelles :
Pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $f_n = 2500 + 108n$ et $c_n = 2500 \times 1,038^n$.
4. Algorithme Python :
La condition de la boucle est while c <= f:. À l'intérieur de la boucle, on incrémente le rang et on met à jour les variables :
n = n + 1
f = f + 108
c = c * 1.038
5. Comparaison globale sur l'année 2020 :
On compare la somme des productions et des commandes de $n=0$ à $n=11$ (12 mois).
Production totale : $S_f = \frac{12(f_0 + f_{11})}{2} = 6 \times (2500 + 2500 + 11 \times 108) = 6 \times 6188 = 37128$.
Commandes totales : $S_c = 2500 \times \frac{1 - 1,038^{12}}{1 - 1,038} \approx 37115,2$.
Puisque $37128 > 37115,2$, la production globale dépassera bien le nombre de commandes potentielles sur l'année.