Analyse de l'énoncé : La modélisation par l'exponentielle

Cet exercice de Première Spécialité Mathématiques porte sur une application concrète de l'analyse fonctionnelle : l'optimisation de l'aire d'un enclos. L'énoncé nous place dans un repère orthonormé où la limite supérieure de l'enclos est définie par la courbe d'une fonction exponentielle $f(x) = 4e^{-0,5x}$. L'enclos étant un rectangle $OABC$, ses dimensions sont directement liées à l'abscisse $x$ du point $A$ et à l'image de $x$ par la fonction $f$.

Points de vigilance et notions clés

• La formule de dérivation du produit : Pour dériver $g(x) = 4xe^{-0,5x}$, il est impératif d'utiliser la règle $(uv)' = u'v + uv'$. Une erreur classique consiste à dériver chaque facteur séparément sans appliquer la formule.
• La dérivée de la fonction composée : La dérivée de $e^{ax+b}$ est $ae^{ax+b}$. Ici, la dérivée de $e^{-0,5x}$ est $-0,5e^{-0,5x}$.
• Signe de l'exponentielle : Rappelez-vous que pour tout réel $X$, $e^X > 0$. Cela simplifie grandement l'étude du signe de la dérivée car seul le facteur polynomial détermine les variations.
• Unités et arrondis : L'énoncé demande un arrondi au dm², ce qui correspond à deux chiffres après la virgule puisque $1 \text{ m}^2 = 100 \text{ dm}^2$.

Guide de résolution détaillé

1. Justification de l'aire : L'enclos est un rectangle de largeur $OA = x$ et de hauteur $OC = f(x)$. L'aire est donc $g(x) = OA \times OC = x \times 4e^{-0,5x} = 4xe^{-0,5x}$.

2. Calcul de la dérivée : Posons $u(x) = 4x$ donc $u'(x) = 4$, et $v(x) = e^{-0,5x}$ donc $v'(x) = -0,5e^{-0,5x}$. En appliquant $(uv)'$ :
$g'(x) = 4 \cdot e^{-0,5x} + 4x \cdot (-0,5e^{-0,5x})$
$g'(x) = 4e^{-0,5x} - 2xe^{-0,5x}$
En factorisant par $e^{-0,5x}$, on obtient bien $g'(x) = (4 - 2x)e^{-0,5x}$.

3. Tableau de variations : Comme $e^{-0,5x} > 0$, le signe de $g'(x)$ est celui de $4 - 2x$.
$4 - 2x = 0 \iff x = 2$.
$4 - 2x > 0$ sur $[0 ; 2[$ et $4 - 2x < 0$ sur $]2 ; 5]$.
La fonction $g$ est donc croissante sur $[0 ; 2]$ et décroissante sur $[2 ; 5]$. Elle admet un maximum en $x=2$.

4. Conclusion et application numérique : Pour maximiser l'enclos, il faut placer le point $A$ à 2 mètres de l'origine. L'aire maximale est $g(2) = 4 \times 2 \times e^{-0,5 \times 2} = 8e^{-1}$.
À la calculatrice : $8e^{-1} \approx 2,94303$. L'aire est d'environ $2,94 \text{ m}^2$, soit 294 dm².