Analyse de l'énoncé

Cet exercice de Première Spécialité Mathématiques porte sur l'étude de fonctions faisant intervenir la fonction exponentielle. La structure est classique : on étudie d'abord une fonction auxiliaire $g$ pour déterminer son signe, puis on utilise ce résultat pour étudier les variations d'une fonction $f$ plus complexe. Ce type d'exercice permet de valider la maîtrise des règles de dérivation et le lien entre le signe de la dérivée et les variations d'une fonction.

Points de vigilance et notions requises

• La dérivée de $e^x$ : Rappelez-vous que la dérivée de $x \mapsto e^x$ est elle-même.
• Règles de dérivation : Il faut maîtriser la dérivation d'une somme ainsi que celle d'un quotient $(u/v)' = (u'v - uv')/v^2$ ou d'un produit.
• Inéquations avec exponentielles : Savoir que $e^x > 1$ équivaut à $x > 0$.
• Équation de la tangente : La formule $y = f'(a)(x - a) + f(a)$ est indispensable.

Guide de résolution détaillé

1. Étude de la fonction auxiliaire $g$

La fonction est $g(x) = e^x - x + 1$. Sa dérivée est $g'(x) = e^x - 1$.
Pour trouver les variations, on cherche quand $g'(x) > 0$ : $e^x - 1 > 0 \iff e^x > 1 \iff x > 0$.
Ainsi, $g$ est décroissante sur $[-5 ; 0]$ et croissante sur $[0 ; 5]$. Le minimum de $g$ est atteint en $x = 0$.
Calcul du minimum : $g(0) = e^0 - 0 + 1 = 1 + 1 = 2$. Comme le minimum est strictement positif ($2 > 0$), la fonction $g(x)$ est strictement positive sur tout l'intervalle.

2. Étude de la fonction $f$

On nous donne $f(x) = x + 1 + \frac{x}{e^x}$. Pour dériver le terme $\frac{x}{e^x}$, on pose $u(x) = x$ et $v(x) = e^x$. On obtient :
$\left(\frac{x}{e^x}\right)' = \frac{1 \cdot e^x - x \cdot e^x}{(e^x)^2} = \frac{e^x(1-x)}{(e^x)^2} = \frac{1-x}{e^x}$.
En dérivant le reste de l'expression, on a $f'(x) = 1 + \frac{1-x}{e^x}$.
En mettant au même dénominateur : $f'(x) = \frac{e^x + 1 - x}{e^x} = \frac{g(x)}{e^x}$.
Comme $g(x) > 0$ et $e^x > 0$ pour tout $x$, alors $f'(x) > 0$. La fonction $f$ est donc strictement croissante sur l'intervalle.

3. Équation de la tangente

En $x=0$ :
$f(0) = 0 + 1 + 0 = 1$.
$f'(0) = \frac{g(0)}{e^0} = \frac{2}{1} = 2$.
L'équation est $y = 2(x - 0) + 1$, soit $y = 2x + 1$.