Analyse de l'énoncé

Cet exercice est un classique de l'année de Première Spécialité Mathématiques. Il porte sur l'étude d'une fonction combinant une expression affine et la fonction exponentielle. L'objectif est de mobiliser les outils d'analyse pour valider des observations graphiques : calcul d'intersections avec les axes, dérivation d'un produit, étude du signe de la dérivée pour en déduire les variations, et enfin, détermination d'une équation de tangente. Ce type de sujet permet de vérifier la maîtrise technique du calcul algébrique et la compréhension géométrique de la dérivée.

Points de vigilance et notions de cours

Pour réussir cet exercice, plusieurs compétences clés sont nécessaires :

• La règle du produit : La fonction est de la forme $u imes v$. Il est impératif d'utiliser la formule $(uv)' = u'v + uv'$.
• Propriétés de l'exponentielle : Rappelez-vous que pour tout réel $x$, $e^x > 0$. Cela simplifie grandement l'étude du signe de la dérivée.
• Intersections avec les axes : Le point A (ordonnée à l'origine) se trouve en calculant $f(0)$, tandis que le point B (abscisse à l'origine) correspond à la résolution de l'équation $f(x) = 0$.
• Équation de la tangente : La formule $y = f'(a)(x - a) + f(a)$ doit être connue par cœur.

Correction détaillée

1. Coordonnées des points A et B :
Pour A : $f(0) = (5 - 2 imes 0)e^0 = 5 imes 1 = 5$. Donc A a pour coordonnées $(0 ; 5)$.
Pour B : On résout $f(x) = 0$. Comme $e^x$ n'est jamais nul, $5 - 2x = 0 \implies x = 2,5$. Donc B a pour coordonnées $(2,5 ; 0)$.

2. Calcul de la dérivée :
On pose $u(x) = 5 - 2x \implies u'(x) = -2$ et $v(x) = e^x \implies v'(x) = e^x$.
$f'(x) = -2e^x + (5 - 2x)e^x = (-2 + 5 - 2x)e^x = (3 - 2x)e^x$. La relation demandée est bien démontrée.

3. Sens de variation :
Puisque $e^x > 0$ pour tout $x$, le signe de $f'(x)$ est celui de $3 - 2x$.
$3 - 2x > 0 \iff x < 1,5$. La fonction $f$ est donc croissante sur $]-\infty ; 1,5]$ et décroissante sur $[1,5 ; +\infty[$.

4. Coordonnées du maximum D :
Le maximum est atteint au point où la dérivée s'annule en changeant de signe, soit en $x = 1,5$.
L'ordonnée est $f(1,5) = (5 - 2 imes 1,5)e^{1,5} = (5 - 3)e^{1,5} = 2e^{1,5}$. Le point D est bien $(1,5 ; 2e^{1,5})$.

5. Tangente et position de D :
L'équation de la tangente en $x=0$ est $y = f'(0)(x-0) + f(0)$.
$f'(0) = (3 - 2 imes 0)e^0 = 3$. L'équation est donc $y = 3x + 5$.
Vérifions si D appartient à cette droite : $3 imes 1,5 + 5 = 4,5 + 5 = 9,5$. Or, $2e^{1,5} \approx 8,96$. Comme $9,5 eq 8,96$, le point D n'appartient pas à la tangente.