Analyse de l'énoncé
Cet exercice est un classique du programme de Première Spécialité Mathématiques, portant sur la modélisation de l'évolution d'une population (ici un stock d'ouvrages) à l'aide de suites numériques. Il mêle deux compétences clés : l'étude théorique d'une suite arithmético-géométrique et l'interprétation d'algorithmes Python (boucles bornées et non bornées).
Points de vigilance et notions requises
Pour réussir cet exercice, l'élève doit maîtriser les points suivants :
- Coefficient multiplicateur : Savoir qu'une baisse de 5 % correspond à une multiplication par 0,95.
- Suites arithmético-géométriques : Savoir utiliser une suite auxiliaire géométrique pour expliciter le terme général d'une suite de la forme $u_{n+1} = au_n + b$.
- Algorithmique : Comprendre la différence entre une boucle
for (utilisée pour calculer un terme précis) et une boucle while (utilisée pour une recherche de seuil).
Correction détaillée
Partie A
1. Chaque année, le stock diminue de 5 % (multiplication par 0,95) et augmente de 6 000 ouvrages (ajout de 6 car $u_n$ est exprimé en milliers). On a donc bien $u_{n+1} = 0,95u_n + 6$ avec $u_0 = 42$.
2. Ce programme Python calcule et renvoie la valeur du terme $u_n$ de la suite. Il permet donc de connaître le nombre d'ouvrages (en milliers) au bout de $n$ années.
Partie B
1. a. Montrons que $(w_n)$ est géométrique :
$w_{n+1} = v_{n+1} - 80 = (0,95v_n + 4) - 80 = 0,95v_n - 76$.
En factorisant par 0,95 : $w_{n+1} = 0,95(v_n - \frac{76}{0,95}) = 0,95(v_n - 80) = 0,95w_n$.
La suite $(w_n)$ est géométrique de raison $q = 0,95$ et de premier terme $w_0 = v_0 - 80 = 42 - 80 = -38$.
1. b. On en déduit $w_n = w_0 \times q^n = -38 \times 0,95^n$.
Comme $v_n = w_n + 80$, on a $v_n = 80 - 38 \times 0,95^n$.
2. L'appel objet(70) cherche le plus petit entier $n$ tel que $v_n \geqslant 70$. Le résultat 27 signifie qu'au 1er janvier de l'année $2020 + 27 = 2047$, la médiathèque comptera pour la première fois au moins 70 000 ouvrages.