Analyse de l'énoncé : La Conjecture des Nombres Impairs

Cet exercice, tiré de l'épreuve du Brevet 2014 (Métropole), est fondamental car il teste votre capacité à utiliser trois outils majeurs des mathématiques de 3ème : l'exemple numérique, le tableur, et surtout, la preuve par le calcul littéral. Le défi est de prouver la conjecture de Léa : le produit de deux nombres impairs consécutifs augmenté de 1 est toujours un multiple de 4.

Points clés et Méthode de Résolution

• 1. Vérification numérique (Partie 1) : L'étude d'un exemple est la première étape de toute démonstration. Pour 5 et 7 : $5 \times 7 + 1 = 36$. Étant donné que $36 = 4 \times 9$, 36 est bien un multiple de 4. Cette étape valide la conjecture pour un cas particulier, mais elle est insuffisante pour une preuve générale.
• 2. Utilisation du Tableur (Partie 2) : Le tableur permet de tester rapidement la conjecture sur de nombreux cas. Il est essentiel de comprendre comment les nombres impairs sont générés. Si $x$ est l'entier de la colonne A (ligne 3 à 12), le premier nombre impair est $2x+1$ (Colonne B) et le suivant $2x+3$ (Colonne C). Pour la cellule D3 (Produit), les deux formules valables sont la multiplication directe des colonnes adjacentes (=B3*C3) et la formule utilisant la variable initiale $x$ (=(2*A3+1)*(2*A3+3)). L'analyse visuelle des résultats dans la colonne E (4, 16, 36, 64...) suggère que tous sont des multiples de 4. Par exemple, pour le premier nombre impair 17 (ligne 11), le résultat est 324, et $324 \div 4 = 81$.
• 3. La Preuve Algébrique (Partie 3) : Pour démontrer la conjecture dans tous les cas, il faut généraliser. On utilise l'expression littérale du résultat : $(2x + 1)(2x + 3) + 1$. La première étape est de développer et réduire cette expression : $$(2x + 1)(2x + 3) + 1 = (4x^2 + 6x + 2x + 3) + 1$$ $$= 4x^2 + 8x + 4$$
• 4. Factorisation et Conclusion : L'étape cruciale est de montrer que le résultat réduit est un multiple de 4 en le factorisant par 4 : $$4x^2 + 8x + 4 = 4(x^2 + 2x + 1)$$Puisque $x$ est un entier, $x^2 + 2x + 1$ est aussi un entier. L'expression totale est donc 4 fois un entier, ce qui prouve que le résultat est toujours un multiple de 4. Léa avait raison !

Cet exercice est un excellent entraînement à la rigueur exigée au DNB, liant l'arithmétique aux outils numériques et littéraux.