Ce que demande cet exercice

Cet exercice de mathématiques, proposé lors de l'épreuve du CRPE, a pour objectif de vérifier vos compétences dans la manipulation des nombres rationnels et votre aisance avec le calcul littéral. Il est structuré en deux parties indépendantes abordant des aspects complémentaires. La première question se concentre sur les valeurs approchées. Il vous est présenté un nombre rationnel défini par une fraction dont le dénominateur est fixé, mais dont le numérateur est inconnu. À partir d'une valeur approchée par excès donnée au millième près, votre tâche consiste à déterminer les valeurs entières possibles pour ce numérateur.

La seconde partie s'articule autour de la comparaison de fractions et de la démonstration mathématique. L'énoncé vous invite d'abord à observer plusieurs paires de fractions construites sur un modèle précis pour formuler une conjecture générale. Ensuite, on attend de vous une véritable démonstration utilisant le calcul littéral pour valider votre hypothèse, valable pour tout entier naturel non nul. Enfin, vous appliquerez ce résultat pour comparer deux fractions composées de très grands nombres, opération impossible de tête sans la propriété démontrée.

Les notions a maitriser

• Les encadrements et valeurs approchées : savoir traduire mathématiquement une valeur approchée par excès à dix puissance moins trois près pour encadrer une fraction.
• La manipulation des inégalités : la recherche des valeurs du numérateur nécessite de transformer une double inégalité de manière rigoureuse pour isoler l'inconnue.
• La comparaison de fractions : maîtriser les techniques de base, comme l'étude du signe de la différence, pour comparer des écritures fractionnaires.
• Le calcul littéral : la démonstration exige de poser le calcul avec une variable entière, de développer et de réduire pour aboutir à une conclusion.
• Le raisonnement scientifique : distinguer clairement une observation sur des exemples numériques (conjecture) d'une preuve algébrique universelle.

Methode et pieges

Pour réussir la première question, le principal piège est de confondre une valeur approchée par excès avec un simple arrondi. Prenez le temps de poser l'encadrement mathématique strict correspondant à l'approximation par excès au millième. Ensuite, multipliez chaque membre par le dénominateur pour isoler le numérateur. Soyez attentif aux règles de manipulation des inéquations. Gardez à l'esprit que le numérateur recherché doit impérativement être un nombre entier, ce qui permet de restreindre l'intervalle obtenu à quelques solutions finies.

Concernant la seconde question, la difficulté réside dans la transition entre l'observation empirique et la preuve. Ne considérez jamais une conjecture comme acquise sans démonstration algébrique. La méthode la plus robuste consiste à étudier le signe de la différence entre les deux expressions littérales. Calculez la soustraction de vos fractions générales, mettez-les au même dénominateur en respectant les priorités opératoires du calcul littéral, puis analysez le signe du résultat. Pour la toute dernière sous-question, ne cherchez surtout pas à poser de longs calculs de division sur votre brouillon : c'est l'application directe et justifiée de votre théorème fraîchement démontré qui est attendue.