Ce que demande cet exercice

Cet exercice, issu du groupement 4 de la session 2018 du concours, vous confronte à un grand classique des sujets de mathématiques du CRPE : le programme de calcul. Ce dernier est présenté de manière originale puisqu'il s'inscrit dans l'interface d'un tableur, mêlant ainsi algorithmique élémentaire et maîtrise de l'outil informatique. L'énoncé se décompose en trois parties distinctes qui vont évaluer votre aisance calculatoire sous différentes formes.

Dans un premier temps, il vous est demandé d'appliquer pas à pas la suite d'instructions à plusieurs valeurs de départ. Vous devrez ainsi manipuler un nombre entier, un nombre décimal, puis une fraction pour laquelle une simplification maximale est exigée. La deuxième partie de l'exercice bascule sur l'utilisation du tableur : vous devez traduire les étapes du programme en formules compréhensibles par le logiciel, en utilisant les références des cellules adéquates. Enfin, la troisième et dernière question vous demande d'évaluer la véracité de deux affirmations. L'une nécessite de rechercher un antécédent particulier pour vérifier si l'annulation du résultat est possible, tandis que l'autre porte sur une propriété arithmétique de divisibilité liée au résultat final lorsque le nombre initial appartient à une catégorie spécifique.

Les notions à maîtriser

• Le calcul numérique fractionnaire et décimal : savoir additionner, multiplier, élever au carré et soustraire des nombres de natures diverses.
• La syntaxe du tableur : connaître la structure d'une formule, l'usage du signe égal et le principe de l'adressage des cellules pour automatiser un calcul.
• Le calcul littéral : être capable de modéliser un programme de calcul par une expression algébrique rigoureuse en fonction d'une variable.
• La résolution d'équations : savoir poser et résoudre une équation du premier ou du second degré pour trouver la valeur de départ correspondant à un résultat donné.
• L'arithmétique élémentaire : démontrer formellement qu'une expression algébrique est un multiple d'un nombre entier donné.

Méthode et pièges

Pour aborder sereinement la première question, la rigueur est votre meilleure alliée. Prenez soin de détailler chaque étape du programme de calcul sur votre copie. Lorsque vous manipulez la fraction, prenez le temps de bien mettre au même dénominateur avant d'effectuer les opérations, et n'oubliez pas d'appliquer les identités remarquables ou les règles de multiplication des fractions avec la plus grande précision. Une erreur de signe ou de priorité opératoire est vite arrivée lors de ces manipulations. Gardez à l'esprit que la calculatrice peut vous servir à vérifier vos étapes intermédiaires, mais que le détail écrit de votre raisonnement reste absolument indispensable pour obtenir la totalité des points attribués par le jury.

Concernant la partie dédiée au tableur, le piège classique est d'oublier que chaque formule doit impérativement commencer par un signe spécifique pour être interprétée comme un calcul par l'ordinateur. De plus, soyez très attentif aux consignes de l'énoncé : on vous demande les formules à saisir dans certaines cellules spécifiques, ce qui implique de faire référence aux cellules précédentes et non de taper directement les valeurs numériques calculées à la question un. Enfin, pour la dernière partie sur les affirmations, ne vous contentez surtout pas de tester quelques valeurs numériques aléatoires, car un simple exemple ne constitue jamais une preuve mathématique générale. Vous devez impérativement passer par une modélisation algébrique. En posant une lettre pour représenter le nombre de départ, vous obtiendrez une expression littérale décrivant le résultat final. Il vous suffira ensuite de simplifier au maximum cette expression, souvent à l'aide du développement d'une identité remarquable bien connue, pour résoudre l'équation demandée ou pour factoriser le résultat afin de prouver irréfutablement la divisibilité attendue. Cette étape de traduction algébrique est véritablement le cœur des compétences mathématiques évaluées ici.