Ce que demande cet exercice

L'exercice est divisé en trois parties portant sur l'étude d'une pyramide en verre inscrite dans un pavé droit et destinée à être remplie de deux sables colorés. La partie A demande de calculer des longueurs d'arêtes en utilisant les propriétés du pavé droit, de déduire la nature des faces de la pyramide, puis de tracer un patron complet et mis à l'échelle.

La partie B étudie une situation particulière où la pyramide est remplie partiellement de sable rouge, délimité par une section parallèle à la base de la pyramide. Il faut déterminer la nature précise de cette section, calculer ses dimensions par la notion de réduction, puis évaluer les volumes respectifs des deux sables. La partie C généralise le problème en modélisant la hauteur de sable par une variable. Une lecture graphique est d'abord attendue pour répondre à diverses questions sur les volumes en fonction de hauteurs données, ou inversement. Enfin, on demande de prouver l'expression algébrique d'une des fonctions de volume pour retrouver par le calcul rigoureux une des réponses lues graphiquement.

Les notions à maîtriser

• Géométrie dans l'espace : propriétés fondamentales du pavé droit, faces et arêtes d'une pyramide inscrite.
• Théorème de Pythagore pour calculer les longueurs des diagonales des faces du pavé.
• Théorème de Thalès et propriétés des agrandissements-réductions pour calculer les dimensions d'une section parallèle à la base.
• Calcul de volumes d'une pyramide de référence et d'un tronc de pyramide.
• Lecture graphique : détermination d'images, d'antécédents et de points d'intersection sur des courbes modélisant des volumes.

Méthode et pièges

Pour la partie A, prenez le soin de bien repérer les triangles rectangles formés par les arêtes du pavé droit. Le théorème de Pythagore vous permettra de trouver les longueurs obliques demandées. Lors du tracé du patron, soyez vigilant sur les longueurs réelles des arêtes, car certaines ne sont pas tracées en vraie grandeur sur la perspective cavalière de l'énoncé. Par ailleurs, n'oubliez pas d'appliquer rigoureusement le coefficient de réduction demandé pour le dessin de votre patron sur la copie.

Dans la partie B, le plan de coupe étant strictement parallèle à la base, le concept fondamental à utiliser est celui de la réduction des solides géométriques. Identifiez avec certitude le rapport de réduction liant la petite pyramide supérieure à la grande pyramide complète. Pensez à l'impact direct de ce rapport sur les longueurs simples, mais aussi sur le calcul des volumes. Le volume de sable rouge, situé en bas, correspond au tronc de la pyramide, qui s'obtient astucieusement par soustraction des volumes calculés précédemment.

Dans la partie C, la lecture graphique demande de la précision et une grande attention portée aux graduations des axes. Faites bien la distinction entre la hauteur de sable rouge, qui correspond à la variable en abscisse, et la hauteur de sable blanc, qui est la hauteur totale de la pyramide diminuée de cette variable. Lors de la toute dernière question, pour démontrer formellement l'expression algébrique du volume de sable blanc, exprimez le rapport de réduction en fonction de la hauteur variable et appliquez la règle des volumes. Une confrontation avec vos lectures graphiques précédentes constituera un excellent moyen de valider votre démarche globale sur cette fin de problème.