Ce que demande cet exercice

Cet exercice, extrait de l'épreuve de mathématiques du concours de recrutement de professeurs des écoles, vous confronte à l'analyse et à la comparaison de deux programmes de calcul distincts. Le premier programme est présenté sous la forme d'une succession d'instructions à saisir dans un tableur, faisant explicitement appel à vos connaissances sur l'utilisation des formules et l'adressage des cellules. Le second programme adopte une représentation plus graphique, sous la forme d'un schéma arborescent détaillant les différentes étapes opératoires appliquées à un nombre de départ choisi aléatoirement.

Dans un premier temps, le sujet vous invite à tester ces deux algorithmes avec des valeurs numériques imposées. Vous devrez manipuler un nombre entier positif puis un nombre rationnel négatif, ce qui mettra à l'épreuve votre rigueur dans les calculs élémentaires. Par la suite, l'exercice prend une dimension algébrique plus prononcée. Il vous est demandé de démontrer si les deux programmes sont rigoureusement équivalents pour n'importe quelle valeur de départ. Enfin, la dernière question exige une démarche inverse : vous devrez déterminer quelles sont les valeurs initiales permettant d'obtenir un résultat nul avec le premier programme, ce qui nécessite la résolution d'une équation spécifique.

Les notions a maitriser

• Le calcul numérique et fractionnaire : vous devez être parfaitement à l'aise avec les opérations de base appliquées aux entiers relatifs ainsi qu'aux fractions, notamment le respect des priorités opératoires et la mise au même dénominateur.
• Le calcul littéral : le passage de l'arithmétique à l'algèbre est incontournable. Il est impératif de savoir traduire un programme de calcul par une expression littérale, en introduisant une variable adaptée.
• Le développement et la réduction : pour prouver l'équivalence de deux expressions algébriques, vous devez maîtriser les techniques de développement, y compris l'utilisation pertinente des règles de distributivité.
• La résolution d'équations : la recherche d'antécédents spécifiques implique de savoir poser et résoudre une équation, en particulier l'équation produit nul qui est un grand classique de ce type de sujet de concours.
• La lecture d'un tableur : la compréhension de la syntaxe d'une formule de tableur est requise pour modéliser correctement le premier programme de calcul proposé dans ce sujet.

Methode et pieges

Pour aborder cet exercice avec sérénité lors du concours, il est conseillé de procéder par étapes bien structurées. Lors de la première question, détaillez soigneusement chaque étape de votre calcul numérique sur votre copie. N'écrivez pas seulement le résultat final, mais montrez le cheminement logique au correcteur, particulièrement lorsque vous manipulez le nombre rationnel négatif. Une erreur de signe ou une mauvaise gestion du carré d'un nombre négatif constitue un piège classique dans lequel de nombreux candidats tombent. Prenez le temps de bien isoler les opérations prioritaires.

Le point crucial de l'exercice réside dans la généralisation demandée à la deuxième question. Rappelez-vous qu'un exemple numérique, ou même plusieurs, ne constituent jamais une démonstration mathématique valable au CRPE. Vous devez impérativement introduire une lettre pour désigner le nombre de départ. Traduisez ensuite chaque programme de calcul par une expression algébrique. Développez et réduisez chacune de ces deux expressions indépendamment l'une de l'autre. Si vous aboutissez à la même forme réduite, vous aurez rigoureusement prouvé que les deux programmes fournissent toujours le même résultat. Pour la dernière question, évitez de développer l'expression initiale. Cherchez plutôt à utiliser l'identité remarquable adéquate pour factoriser l'expression et vous ramener à une équation produit nul, ce qui vous permettra de trouver toutes les solutions sans omettre de possibilités et avec plus de simplicité.