Ce que demande cet exercice

Ce problème du CRPE vous invite à explorer une notion géométrique originale : les polygones de Pick. Ces figures sont tracées sur un réseau de points à maille carrée, où chaque sommet du polygone coïncide parfaitement avec un point de ce réseau. Le sujet est structuré en quatre parties progressives mêlant concepts géométriques et algébriques.

Dans un premier temps, il vous est demandé d'évaluer l'aire d'un polygone de manière empirique, en explicitant soigneusement votre démarche de découpage. Ensuite, vous découvrirez la fameuse formule de Pick liant l'aire de la figure au nombre de points situés à l'intérieur et sur son pourtour. Vous devrez appliquer cette formule sur l'exemple précédent pour en vérifier la cohérence, puis exploiter la propriété d'additivité des aires. Les parties suivantes vous pousseront vers l'abstraction mathématique. Vous devrez tirer des conséquences directes de la formule pour des aires données, en déterminant les valeurs entières possibles pour les points, et même tracer des polygones respectant ces contraintes spécifiques. Enfin, le problème culmine avec la démonstration algébrique formelle de la formule de Pick dans le cas d'un rectangle de dimensions quelconques.

Les notions a maitriser

• Calcul d'aires par décomposition : Savoir découper judicieusement une figure complexe en formes géométriques simples, comme des rectangles ou des triangles rectangles.
• Propriété d'additivité des aires : Comprendre que l'aire d'une figure globale est égale à la somme des aires des parties disjointes qui la composent.
• Calcul littéral et algébrique : Être capable de manipuler des variables et des expressions littérales pour démontrer une propriété générale en géométrie.
• Raisonnement déductif et arithmétique : Utiliser une équation pour en déduire des contraintes sur ses variables, notamment en analysant des conditions de parité.

Methode et pieges

Pour aborder sereinement ce long problème, il est primordial de faire preuve d'une grande rigueur. Lors de la première partie, détaillez avec soin votre méthode de calcul d'aire. Ne vous contentez pas de donner un résultat, mais expliquez pas à pas votre décomposition. L'utilisation de figures annotées sur votre brouillon vous sera d'une aide précieuse. Soyez extrêmement précis lorsque vous comptez les points du réseau : distinguez très clairement les points strictement à l'intérieur de la figure de ceux qui se trouvent exactement sur les segments de bord. Une banale erreur de comptage fausserait toutes vos vérifications ultérieures.

Dans la partie algébrique, prenez le temps nécessaire pour bien définir vos variables. Lorsque vous devez exprimer le nombre de points en fonction de la longueur et de la largeur d'un rectangle, aidez-vous d'un petit schéma pour vérifier vos formules sur un cas simple avant de valider votre généralisation. Méfiez-vous des effets de bord : compter les points sur un segment demande de bien distinguer les intervalles des extrémités. Enfin, pour les questions exigeant de construire un polygone précis, procédez par des essais successifs méthodiques sur la trame pointée, en respectant les relations imposées par la formule étudiée.