Ce que demande cet exercice

Cet exercice, typique des sujets du concours, s'articule autour de l'analyse d'un programme informatique créé avec le logiciel éducatif Scratch. Le script étudié demande d'abord à l'utilisateur de saisir un nombre spécifique, en l'occurrence un entier avec une contrainte d'imparité. Ensuite, il affecte cette valeur à une première variable, avant d'en définir une seconde construite à partir d'une simple addition. Enfin, le programme annonce un résultat final obtenu par un calcul mêlant produit et somme sur ces deux variables temporaires.

Le questionnement vous invite à adopter une démarche de résolution très progressive. Les deux premières interrogations vous demandent de faire fonctionner l'algorithme mentalement ou sur brouillon, en introduisant des valeurs numériques précises pour valider votre compréhension des instructions séquentielles. La troisième question marque un tournant majeur en exigeant de quitter le domaine de l'arithmétique pour celui de la démonstration algébrique. Vous devez y prouver une double propriété mathématique forte concernant le résultat final du programme, et cela de manière universelle, c'est-à-dire quelle que soit la valeur initiale saisie par l'utilisateur.

Les notions a maitriser

• La lecture d'un algorithme : vous devez être capable de décrypter l'enchaînement des blocs d'instructions Scratch, notamment l'affectation de variables et l'imbrication d'opérateurs mathématiques.
• La modélisation algébrique : savoir écrire formellement un nombre impair à l'aide d'un entier relatif quelconque est une compétence indispensable pour espérer généraliser le problème.
• La maîtrise du calcul littéral : le développement minutieux, la factorisation judicieuse et l'utilisation éventuelle des identités remarquables sont incontournables pour simplifier les expressions obtenues.
• Les fondements de l'arithmétique : il faut savoir justifier formellement, par l'écriture algébrique, qu'une expression littérale représente indéniablement un carré parfait ou un multiple d'un entier spécifique.

Methode et pieges

Pour aborder la première partie de cet exercice sereinement, prenez l'habitude de créer un petit tableau de suivi de variables sur votre feuille de brouillon. Notez consciencieusement l'évolution du contenu de chaque variable à chaque ligne d'instruction exécutée. Lorsque l'énoncé vous demande explicitement de vérifier un résultat fourni, prenez soin de détailler scrupuleusement toutes les étapes de votre calcul numérique. Le correcteur évalue avant tout votre rigueur dans la restitution du déroulement logique de l'algorithme. Ne sautez aucune étape sous prétexte de facilité.

Le piège principal de ce type d'épreuve réside presque toujours dans l'ultime question de généralisation. De nombreux candidats se contentent de tester deux ou trois valeurs supplémentaires et pensent avoir démontré la propriété. Or, une succession d'exemples numériques ne constitue absolument pas une démonstration mathématique valable. Vous devez impérativement introduire une variable littérale pour modéliser la saisie initiale, puis exprimer le calcul complet du script sous la forme d'une expression algébrique. Tout l'enjeu consistera alors à manipuler correctement cette expression pour faire apparaître distinctement la structure d'un carré et la mise en évidence du multiple demandé. Prenez le temps de soigner votre phrase de conclusion finale.