Ce que demande cet exercice

Ce troisième exercice du CRPE 2019, issu du sujet du groupement 4, vous confronte à l'analyse détaillée et à l'exploitation mathématique de deux scripts créés avec le logiciel Scratch. Ces deux petits algorithmes en apparence simples correspondent en réalité à des programmes de calcul distincts et indépendants. Dans un premier temps, vous devez exécuter pas à pas le premier programme avec des valeurs précises données par l'énoncé, dont un nombre entier naturel classique et une fraction. Ensuite, le travail s'inverse totalement pour le second programme : il s'agit de retrouver le nombre de départ initial connaissant avec précision le résultat final qui est affiché par le logiciel.

La suite de l'exercice vous demande d'élever votre niveau de justification, une compétence essentielle pour tout futur professeur des écoles. Vous serez en effet amené à prouver une propriété arithmétique générale concernant le deuxième programme, spécifiquement lorsqu'on lui fournit un nombre strictement impair en entrée. Enfin, la dernière question exige de déterminer, par le calcul algébrique, s'il existe une ou plusieurs valeurs de départ pour lesquelles les deux scripts Scratch produisent et affichent un résultat final strictement identique.

Les notions a maitriser

• Lecture, compréhension et interprétation de blocs d'instructions classiques dans l'environnement de programmation Scratch.
• Traduction rigoureuse d'un algorithme en une expression algébrique modélisée.
• Mise en équation pertinente d'un problème donné et résolution algébrique d'équations du premier degré à une inconnue.
• Démonstration arithmétique pure, nécessitant l'utilisation de l'écriture littérale d'un nombre impair et le recours à la factorisation.
• Maîtrise du calcul exact et rigoureux avec des nombres en écriture fractionnaire ainsi que des nombres décimaux.

Methode et pieges

Pour aborder cet exercice sereinement et efficacement, la première étape indispensable dès la lecture du sujet est de traduire chaque script Scratch par une expression mathématique littérale de votre choix. Choisissez une lettre standard pour désigner la variable correspondant à la réponse de l'utilisateur. Le programme A se traduira ainsi par une première expression affine et le programme B par une seconde expression de même nature. Cette modélisation vous fera gagner un temps extrêmement précieux pour traiter l'intégralité des questions suivantes, et vous évitera de manipuler mentalement les blocs d'instructions qui peuvent être sources de confusions lors des mises en équation.

Le principal piège de ce sujet réside très clairement dans la troisième question. Vous devez absolument garder à l'esprit qu'il ne suffit en aucun cas de tester deux ou trois nombres impairs pris au hasard et de constater que la propriété fonctionne. Le jury du concours attend de vous une véritable démonstration mathématique implacable, valable de façon universelle. Pour y parvenir, vous devez impérativement recourir à l'outil du calcul littéral. Rappelez-vous de vos cours d'arithmétique : un nombre entier impair s'écrit toujours formellement sous la forme d'un nombre pair (multiple de deux) auquel on ajoute l'unité. Injectez délicatement cette forme littérale générale directement dans l'expression algébrique représentant le programme B. Développez ensuite l'ensemble des termes avec précaution, réduisez l'expression obtenue, puis factorisez astucieusement le résultat final par le chiffre adéquat pour mettre en évidence de manière irréfutable la multiplicité exigée par l'énoncé de l'exercice.