Ce que demande cet exercice

Cet exercice, issu de la session 2018 du concours de recrutement de professeurs des écoles, se présente sous la forme très classique d'un questionnaire à vrai ou faux. Vous êtes confronté à quatre affirmations totalement indépendantes balayant différents domaines fondamentaux du programme. La consigne exige de votre part une très grande rigueur : pour chaque proposition énoncée, vous devez indiquer si elle est vraie ou fausse, mais surtout proposer une justification mathématique solide. Le sujet précise d'ailleurs explicitement qu'une réponse binaire, sans démonstration ou accompagnée d'un raisonnement erroné, ne vous rapportera absolument aucun point.

La première affirmation vous plonge directement dans l'arithmétique en vous interrogeant sur le nombre exact de diviseurs du nombre entier cent vingt-six. La deuxième proposition aborde la géométrie plane et vous demande de statuer sur le lien de causalité supposé entre le périmètre d'un polygone non croisé et son aire. La troisième traite des augmentations successives, en posant l'hypothèse qu'une hausse annuelle de cinq pour cent permettrait de doubler un prix initial au terme de quinze années de placement. Enfin, la dernière situation vous confronte aux réductions dans l'espace, en liant la diminution proportionnelle des dimensions linéaires d'un flacon de parfum à la diminution drastique de son volume total.

Les notions a maitriser

• L'arithmétique élémentaire : connaître parfaitement les critères de divisibilité, savoir décomposer un nombre entier en produit de facteurs premiers et maîtriser la méthode pour dénombrer tous ses diviseurs.
• La géométrie plane : différencier clairement les concepts de périmètre et d'aire pour des figures polygonales usuelles, et comprendre que ces deux grandeurs ne varient pas nécessairement dans le même sens.
• Les calculs de pourcentages : appliquer un taux d'évolution, comprendre le mécanisme indispensable des augmentations successives et maîtriser l'utilisation des coefficients multiplicateurs.
• L'agrandissement et la réduction : appliquer l'effet d'un coefficient de réduction sur les longueurs, les aires et surtout les volumes, en sachant élever ce facteur d'échelle à la puissance géométrique appropriée.

Methode et pieges

La résolution d'un tel exercice de vrai ou faux demande une approche hautement méthodique. Le piège principal réside dans l'intuition première qui peut rapidement s'avérer trompeuse. Pour démontrer qu'une affirmation est fausse, la méthode la plus directe et redoutable consiste à exhiber un contre-exemple pertinent. Dans le cas de l'affirmation géométrique, cherchez des figures extrêmement simples, comme un long rectangle fin opposé à un carré, pour comparer leurs périmètres et leurs aires. Un seul cas isolant la règle proposée suffit amplement à valider de manière incontestable la fausseté de l'énoncé complet.

À l'inverse, si vous pensez intimement qu'une affirmation est vraie, vous devez rédiger une démonstration générale et structurée. Pour l'arithmétique, listez rigoureusement les éléments ou utilisez la décomposition. Concernant les pourcentages financiers, prenez impérativement garde à l'erreur classique consistant à additionner naïvement les taux au lieu de multiplier les coefficients d'évolution annuels. Fixez un prix de départ arbitraire pour faciliter et vérifier votre raisonnement. Enfin, sur la dernière question, soyez extrêmement vigilant quant à la différence entre une dimension linéaire et une capacité tridimensionnelle. Rappelez-vous la règle d'or liant le rapport des longueurs au rapport cubique des volumes pour éviter de tomber tête baissée dans le piège de la simple proportionnalité.