Ce que demande cette question
La question 15 de l'épreuve de mathématiques du concours ACCÈS 2014 vous plonge au cœur d'un problème d'analyse de risques et de rentabilité. L'énoncé introduit une expérience aléatoire modélisant l'achat d'un futur modèle, nommé M3, dont la sortie est prévue dans six mois. Cette situation génère plusieurs événements distincts, chacun étant associé à un bénéfice potentiel spécifique et à une probabilité de réalisation qui lui est propre. La somme de ces probabilités est logiquement égale à un, ce qui confirme que nous sommes en présence d'une loi de probabilité complète.
Votre objectif principal ici est de décortiquer cette loi de probabilité pour évaluer la pertinence de quatre affirmations. Vous devez d'abord déterminer le nombre exact de valeurs possibles pour ce bénéfice, c'est-à-dire identifier toutes les issues financières envisageables selon les données du problème. Ensuite, il vous est demandé d'encadrer ces valeurs afin de vérifier si elles se situent bien dans la fourchette proposée par l'énoncé. Vous devrez également associer la plus petite valeur de bénéfice à sa probabilité d'occurrence pour valider ou invalider l'une des propositions. Enfin, le cœur de l'exercice repose sur le calcul du bénéfice espéré, qui n'est autre que l'espérance mathématique de cette variable aléatoire, calculée en pondérant chaque bénéfice par sa probabilité respective.
Les notions à maîtriser
Pour aborder cette question avec sérénité, vous devez être parfaitement à l'aise avec les concepts fondamentaux des probabilités discrètes :
- La notion de variable aléatoire : comprendre comment associer une valeur numérique (ici un bénéfice en euros) à l'issue d'une expérience aléatoire.
- La loi de probabilité : savoir lister les différentes valeurs possibles et leur attribuer les probabilités correspondantes en s'assurant que leur somme vaut bien un.
- Le calcul de l'espérance mathématique : maîtriser la formule de la moyenne pondérée, qui consiste à multiplier chaque valeur par sa probabilité puis à additionner l'ensemble de ces produits.
- L'analyse de données chiffrées : être capable d'extraire les bonnes informations d'un énoncé complexe pour identifier les valeurs extrêmes (minimum et maximum) d'une série.
Méthode et pièges au concours ACCÈS
Le concours ACCÈS se distingue par son format exigeant de vrai ou faux, où la gestion du risque est tout aussi importante que vos connaissances mathématiques. Rappelez-vous toujours le barème spécifique de cette épreuve : une erreur est lourdement pénalisée et vous coûte plus cher qu'une absence de réponse. Il est donc crucial de ne cocher une case que si vous êtes absolument certain de votre calcul ou de votre raisonnement logique.
Dans ce type de question portant sur les probabilités et l'espérance, le piège classique consiste à confondre les probabilités entre elles ou à oublier une issue possible lors de l'inventaire des événements. Prenez le temps de dresser un tableau clair de la loi de probabilité au brouillon. Alignez chaque bénéfice avec sa probabilité correspondante. Cela vous évitera des erreurs d'inattention lors du calcul final de l'espérance. De plus, méfiez-vous des calculs mentaux trop hâtifs : posez vos multiplications avec soin, car une simple erreur de virgule ou de retenue sur le calcul du bénéfice espéré vous conduira à valider ou invalider la dernière affirmation à tort. Restez méthodique, vérifiez que la somme de vos probabilités est bien un, et n'hésitez pas à vous abstenir sur une affirmation si le calcul vous semble trop incertain.