Ce que demande cette question

La question 17 de l'épreuve de mathématiques du concours ACCÈS 2014 vous plonge dans une situation classique d'économie d'entreprise. L'énoncé vous présente un modèle où la production mensuelle d'un produit, notée avec la variable q, est directement liée à son prix de vente unitaire p par le biais d'une équation linéaire intégrant un paramètre entier positif M. Votre premier objectif est de comprendre cette relation pour pouvoir exprimer le prix en fonction de la quantité produite, une étape indispensable pour la suite de la résolution.

Ensuite, le sujet vous fournit l'expression algébrique de la fonction de coût moyen mensuel. À partir de ces données initiales, vous êtes invité à analyser quatre affirmations distinctes. Celles-ci portent sur la formulation mathématique de la recette totale mensuelle, la recherche du volume de production permettant de maximiser cette même recette, l'expression développée du coût total mensuel, et enfin la détermination de la fonction de profit mensuel. Vous devez donc mobiliser vos compétences en algèbre et en analyse pour vérifier rigoureusement chaque proposition sans vous laisser tromper par les expressions polynomiales proposées.

Les notions à maîtriser

Pour aborder cette question avec sérénité, vous devez être parfaitement à l'aise avec les concepts mathématiques appliqués à l'économie. Voici les points clés du programme à réviser :

• La relation prix-demande : savoir isoler une variable dans une équation linéaire pour exprimer le prix p en fonction de la quantité q.
• Le calcul de la recette totale : maîtriser la formule fondamentale liant la recette, le prix unitaire et les quantités vendues.
• Le passage du coût moyen au coût total : comprendre que le coût total s'obtient en multipliant la fonction de coût moyen par la quantité produite, et savoir effectuer ce développement algébrique sans erreur.
• La fonction de profit : être capable de soustraire le coût total de la recette totale pour modéliser le bénéfice de l'entreprise, en faisant particulièrement attention aux signes lors de la soustraction des polynômes.
• L'optimisation d'une fonction : savoir dériver une fonction du second degré pour en étudier les variations et identifier son maximum théorique.

Méthode et pièges au concours ACCÈS

Le concours ACCÈS est réputé pour sa difficulté et son exigence en matière de gestion du temps et de précision. Face à un problème d'optimisation économique comme celui-ci, la méthode la plus sûre consiste à prendre quelques instants au brouillon pour établir les trois fonctions principales (recette totale, coût total et profit) avant même de lire les affirmations en détail. En construisant vous-même ces expressions, vous éviterez de vous laisser influencer par les formules parfois trompeuses suggérées par les concepteurs du sujet.

Un piège classique dans ce type d'exercice réside dans la confusion entre le coût moyen et le coût total. L'énoncé vous donne le coût moyen, mais les affirmations nécessitent d'utiliser le coût total. Une lecture trop rapide pourrait vous amener à utiliser la mauvaise fonction, faussant ainsi l'intégralité de vos calculs de profit. De plus, soyez extrêmement vigilant lors du développement et de la simplification de la fonction de profit, car une simple erreur de signe devant une parenthèse vous conduira inévitablement à valider une affirmation fausse.

Enfin, gardez toujours à l'esprit la spécificité du barème de l'épreuve de raisonnement logique et mathématiques. Dans ce concours, la prise de risque non maîtrisée est lourdement sanctionnée. Une erreur coûte plus qu'une absence de réponse. Si vous bloquez sur le calcul de la dérivée pour trouver le maximum de la recette, ou si vous avez un doute persistant sur l'expression finale du profit, il est souvent préférable de laisser la case vide plutôt que de cocher au hasard. Concentrez-vous sur les affirmations dont vous avez pu démontrer la véracité ou la fausseté de manière irréfutable.