Ce que demande cette question

La question 6 de l'épreuve de mathématiques du concours ACCÈS 2022 vous confronte à l'étude classique d'une fonction faisant intervenir l'exponentielle. L'énoncé vous présente une fonction définie par un quotient dont le numérateur et le dénominateur contiennent des termes en exponentielle. À partir de cette unique expression, vous devez évaluer la véracité de quatre affirmations distinctes qui balaient l'ensemble des compétences exigibles sur ce chapitre en classe de terminale.

La première affirmation vous interroge sur l'ensemble de définition de cette fonction. Il s'agit de vérifier si le dénominateur peut s'annuler sur l'ensemble des nombres réels. La deuxième affirmation teste votre agilité algébrique : vous devez manipuler l'expression initiale, par exemple en factorisant ou en multipliant le numérateur et le dénominateur par une même quantité, pour retrouver une nouvelle écriture faisant apparaître une exponentielle d'exposant négatif. La troisième affirmation se concentre sur le calcul différentiel. Vous êtes invité à dériver la fonction en utilisant les règles usuelles de dérivation, notamment celle du quotient, puis à simplifier le résultat pour le comparer à l'expression proposée. Enfin, la dernière affirmation mobilise vos connaissances sur la géométrie de la courbe représentative. Vous devez déterminer l'équation réduite de la tangente au point d'abscisse zéro, ce qui nécessite d'utiliser à la fois la valeur de la fonction et celle de son nombre dérivé en ce point précis.

Les notions à maîtriser

• L'ensemble de définition : savoir repérer les valeurs interdites d'une fonction rationnelle et connaître le signe strictement positif de la fonction exponentielle sur les réels.
• Les manipulations algébriques de l'exponentielle : maîtriser les règles de calcul sur les puissances, notamment la relation entre l'exponentielle d'un nombre et l'exponentielle de son opposé.
• Le calcul de la dérivée d'un quotient : appliquer sans erreur la formule de dérivation, tout en sachant que la dérivée de la fonction exponentielle est elle-même.
• L'équation de la tangente : connaître par cœur et savoir appliquer la formule de l'équation réduite d'une droite tangente à une courbe en un point donné.

Méthode et pièges au concours ACCÈS

Le concours ACCÈS possède une structure bien particulière que vous devez impérativement intégrer à votre stratégie de préparation. Chaque question comporte quatre affirmations, et vous devez vous prononcer sur chacune d'elles. Il est crucial de se rappeler du barème spécifique de cette épreuve : une erreur est lourdement sanctionnée et vous coûte plus cher qu'une absence de réponse. Par conséquent, si vous hésitez sur le calcul de la dérivée ou sur la manipulation algébrique, il est souvent préférable de s'abstenir plutôt que de tenter de deviner le résultat au hasard.

Face à une étude de fonction exponentielle comme celle-ci, la rigueur calculatoire est votre meilleure alliée. Un piège fréquent consiste à se précipiter lors de la dérivation du quotient, en oubliant un signe ou en développant de manière incorrecte le numérateur. Prenez le temps de poser vos termes au brouillon. De plus, les affirmations sont souvent liées : le calcul de la dérivée de la troisième affirmation est indispensable pour vérifier l'équation de la tangente de la dernière. Si vous avez un doute sur votre dérivée, soyez extrêmement prudent avant de valider la proposition suivante. Enfin, gardez à l'esprit que les concepteurs du sujet aiment tester votre capacité à reconnaître différentes formes d'une même expression mathématique. Ne vous laissez pas déstabiliser par une écriture inhabituelle et cherchez toujours à transformer l'expression avec méthode.