Ce que demande cette question

Dans cette huitième question de l'épreuve de mathématiques du concours ACCÈS 2010, vous êtes confronté à l'étude d'une fonction faisant intervenir le logarithme népérien au numérateur et au dénominateur. L'énoncé vous présente une fonction rationnelle composée et vous demande de statuer sur quatre affirmations distinctes qui balayent les compétences classiques en analyse.

Tout d'abord, la première affirmation vous invite à déterminer l'ensemble de définition. Il s'agit de trouver les conditions d'existence liées au logarithme et au quotient. Ensuite, la deuxième proposition vous demande de manipuler algébriquement l'expression initiale pour vérifier une reformulation spécifique. Cette étape requiert une bonne maîtrise des propriétés algébriques. La troisième affirmation porte sur la parité de la fonction, en vous demandant de vérifier si la courbe admet l'axe des ordonnées comme axe de symétrie. Enfin, la dernière proposition vous interroge sur l'existence d'une solution à une équation précise, ce qui fait appel à vos connaissances sur la résolution d'équations.

Les notions à maîtriser

• L'ensemble de définition : savoir que l'argument du logarithme doit être strictement positif et qu'un dénominateur ne peut jamais être nul.
• Les propriétés algébriques : maîtriser les règles de calcul, notamment la transformation d'un produit, d'un quotient ou d'une puissance.
• La parité d'une fonction : être capable de calculer l'image de l'opposé d'un réel et d'interpréter géométriquement le résultat.
• La résolution d'équations : savoir isoler une variable dans une équation impliquant des fonctions transcendantes et vérifier l'appartenance des solutions.

Méthode et pièges au concours ACCÈS

Le concours ACCÈS est réputé pour ses questions exigeantes où la rigueur est de mise. Face à une fonction complexe, la précipitation est votre pire ennemie. Le premier piège classique réside dans la détermination de l'ensemble de définition. Beaucoup de candidats oublient qu'un carré est toujours positif ou nul, mais qu'il faut exclure les valeurs qui annulent le dénominateur ou rendent l'argument du logarithme inférieur ou égal à zéro. Prenez le temps de poser clairement vos inéquations.

Lors de la manipulation algébrique demandée, procédez par étapes. Factorisez soigneusement les expressions à l'intérieur du logarithme avant d'appliquer vos formules. Une erreur de signe ou une simplification hâtive peut rapidement vous induire en erreur. Pour la parité, remplacez méthodiquement la variable par son opposé et observez si l'expression reste invariante, ce qui confirmera ou infirmera la symétrie par rapport à l'axe des ordonnées.

Enfin, gardez toujours à l'esprit les spécificités du barème de l'épreuve de mathématiques du concours ACCÈS. Chaque question comporte quatre affirmations qui peuvent être vraies ou fausses. Une mauvaise réponse est lourdement pénalisée, car une erreur vous coûte plus de points qu'une absence de réponse. Si vous n'arrivez pas à démontrer formellement une affirmation, il est souvent stratégique de s'abstenir plutôt que de tenter de deviner. Privilégiez la certitude mathématique à l'intuition.