Ce que demande cette question

Dans cette huitième question du concours ACCÈS 2012, vous êtes confronté à l'étude complète d'une fonction faisant intervenir le logarithme népérien. L'énoncé donne une fonction définie sur les réels strictement positifs, composée d'une constante et de quotients incluant le logarithme. À travers les quatre affirmations proposées, vous devez analyser différents aspects de cette fonction. La première affirmation invite à déterminer le signe global de la fonction, ce qui implique de calculer sa dérivée et de dresser son tableau de variations. La deuxième affirmation se concentre sur une propriété géométrique locale, à savoir l'équation de la tangente à la courbe représentative en un point précis dont l'abscisse fait intervenir la constante de Neper. La troisième affirmation vous demande d'étudier la position relative de la courbe par rapport à une droite horizontale sur un intervalle restreint, nécessitant l'étude du signe d'une différence. Enfin, la dernière affirmation porte sur le comportement asymptotique de la fonction lorsque la variable tend vers l'infini.

Les notions à maîtriser

Pour aborder cette question avec sérénité, vous devez être parfaitement à l'aise avec les outils fondamentaux de l'analyse fonctionnelle au programme du lycée. Voici les points clés à réviser :

• La dérivation des fonctions composées et des quotients : savoir appliquer correctement la formule de la dérivée de u/v, en particulier lorsque le numérateur contient un logarithme népérien.
• L'équation de la tangente : connaître sur le bout des doigts la formule y = f'(a)(x - a) + f(a) et savoir l'appliquer sans erreur de calcul avec des valeurs exactes comme l'inverse de e.
• Les limites de référence : maîtriser les croissances comparées, notamment la limite de ln(x)/x lorsque x tend vers l'infini, pour valider ou invalider les comportements asymptotiques.
• L'étude de signe et les positions relatives : être capable de résoudre des inéquations impliquant des logarithmes pour déterminer si une courbe se situe au-dessus ou en dessous d'une droite donnée.

Méthode et pièges au concours ACCÈS

Le concours ACCÈS est une épreuve exigeante où la gestion du temps et la précision des calculs sont déterminantes. Face à une étude de fonction de ce type, la méthode la plus sûre consiste à prendre quelques minutes au brouillon pour dériver la fonction et dresser son tableau de variations complet avant même de lire les affirmations en détail. Cela vous donnera une vision globale qui facilitera grandement le traitement des propositions. Prenez garde aux erreurs de signe lors de la dérivation du quotient, c'est un piège classique dans lequel de nombreux candidats tombent. De plus, la manipulation de la constante de Neper et de son inverse demande une grande rigueur algébrique pour ne pas fausser le calcul de la tangente. Gardez toujours à l'esprit les spécificités du barème de l'épreuve de raisonnement logique et mathématiques. Chaque question comporte quatre affirmations indépendantes qui peuvent être vraies ou fausses. Une mauvaise réponse est lourdement pénalisée par des points négatifs, tandis qu'une absence de réponse rapporte zéro point. Une erreur vous coûte donc plus cher qu'une abstention. Si vous butez sur le calcul de la tangente ou sur une limite, il est souvent plus stratégique de ne pas cocher la case correspondante plutôt que de tenter de deviner le résultat. Concentrez-vous sur les affirmations dont vous êtes absolument certain pour sécuriser votre score.