Ce que demande cette question

La question 12 de l'épreuve de mathématiques du concours ACCÈS 2010 vous confronte à un grand classique des sujets de concours : l'étude d'une suite récurrente définie par une fonction homographique. L'énoncé présente une suite principale dont le premier terme est donné et dont la relation de récurrence lie chaque terme au précédent par un quotient. Ce type de suite ne permet pas de déduire directement une formule explicite, ce qui justifie l'introduction de suites auxiliaires.

Pour contourner cette difficulté, le sujet introduit deux autres suites. La première est définie de manière implicite par rapport à la suite initiale. Votre tâche consistera à inverser cette relation pour exprimer cette suite auxiliaire, ce qui vous permettra de tester l'affirmation portant sur la valeur de son terme initial. Ensuite, l'énoncé vous demande de déterminer sa relation de récurrence pour vérifier la formule proposée.

La réflexion portera ensuite sur la seconde suite auxiliaire. Il s'agira de démontrer si cette nouvelle suite possède une nature géométrique et d'en identifier la raison. Enfin, la dernière affirmation vous demande de conclure sur le comportement asymptotique de la suite initiale, c'est-à-dire de calculer sa limite lorsque l'indice tend vers l'infini. Vous devrez utiliser les résultats obtenus pour remonter jusqu'à la limite finale.

Les notions à maîtriser

• Le calcul algébrique et l'inversion de relations : Vous devez être parfaitement à l'aise avec la manipulation des fractions et la résolution d'équations pour exprimer une variable en fonction d'une autre.
• Les suites géométriques : Il est impératif de connaître la méthode standard pour prouver qu'une suite est géométrique, qui consiste à exprimer le terme de rang n+1 en fonction du terme de rang n.
• Le calcul des limites : Vous devez savoir déterminer la limite d'une suite géométrique en fonction de sa raison, puis utiliser les théorèmes d'opérations sur les limites.
• Les suites homographiques : Bien que la méthode soit guidée par l'énoncé, comprendre la logique sous-jacente de ces suites vous fera gagner un temps précieux.

Méthode et pièges au concours ACCÈS

Dans cette épreuve du concours ACCÈS, la rigueur algébrique est votre meilleure alliée. Le principal piège réside dans les nombreuses manipulations de fractions. Une simple erreur de signe lors de l'expression des suites auxiliaires faussera l'intégralité de vos conclusions pour les affirmations suivantes. Prenez le temps de bien poser vos calculs au brouillon et de vérifier vos simplifications à chaque étape de votre raisonnement.

Il est également crucial de garder à l'esprit le système de notation spécifique. Le concours ACCÈS applique un barème strict où une mauvaise réponse est lourdement pénalisée. En effet, une erreur vous coûtera plus de points qu'une absence de réponse. Si vous bloquez sur l'inversion de la formule initiale ou si vous n'êtes pas certain de vos calculs, il est préférable de s'abstenir plutôt que de cocher au hasard.

Enfin, optimisez votre temps de composition. Les questions sur les suites sont souvent chronophages. Si vous maîtrisez les méthodes classiques, vous pouvez enchaîner les calculs rapidement. Cependant, si vous sentez que vous vous perdez dans les fractions, passez à la question suivante. La gestion du temps est indispensable pour réussir.