Ce que demande cette question
Dans cette huitième question de l'épreuve de mathématiques du concours ACCÈS 2011, vous êtes confronté à l'étude croisée de deux fonctions réelles, notées f et g. La première fonction, f, est une fonction irrationnelle classique faisant intervenir la racine carrée d'un polynôme du second degré. La seconde fonction, g, est nettement plus complexe puisqu'elle combine un logarithme népérien dont l'argument contient une racine carrée, et un produit de x par cette même racine carrée.
L'énoncé vous soumet quatre affirmations indépendantes qu'il va falloir évaluer avec rigueur. Tout d'abord, vous devez déterminer la parité de la fonction g, c'est-à-dire vérifier si elle est impaire en calculant son expression en fonction de l'opposé de x. Ensuite, il vous est demandé d'étudier le sens de variation de la fonction f sur l'ensemble des réels pour confirmer ou infirmer sa stricte croissance. La troisième affirmation constitue le cœur calculatoire du problème : vous devez vérifier si la fonction g est une primitive de la fonction f. Enfin, la dernière proposition porte sur les propriétés graphiques de la courbe représentative de la fonction f, en vous demandant si celle-ci admet un centre de symétrie, ce qui est intimement lié à la parité de cette fonction.
Les notions à maîtriser
Pour aborder cette question sereinement, vous devez être parfaitement à l'aise avec plusieurs concepts fondamentaux du programme d'analyse :
- La dérivation des fonctions composées : Il est impératif de connaître sur le bout des doigts les formules de dérivation pour les fonctions de la forme racine de u et logarithme népérien de u, ainsi que la dérivée d'un produit.
- Le lien entre primitive et dérivée : Pour prouver qu'une fonction est la primitive d'une autre, la méthode la plus sûre consiste à dériver la primitive supposée pour retrouver la fonction initiale.
- L'étude de la parité : Vous devez savoir démontrer qu'une fonction est paire ou impaire en évaluant son expression en l'opposé de x, et connaître les implications graphiques correspondantes, comme un axe de symétrie ou un centre de symétrie.
- Les propriétés du logarithme népérien : La manipulation des expressions logarithmiques, notamment avec l'utilisation des quantités conjuguées, est souvent nécessaire pour simplifier les calculs lors de l'étude de la parité.
Méthode et pièges au concours ACCÈS
L'épreuve de mathématiques du concours ACCÈS est réputée pour sa difficulté et son exigence en matière de gestion du temps. Face à une question portant sur les primitives et les intégrales comme celle-ci, la précipitation est votre pire ennemie. Le calcul de la dérivée de la fonction g est particulièrement technique. Une simple erreur de signe ou un oubli dans l'application de la formule de dérivation d'un produit vous conduira inévitablement à une mauvaise conclusion pour l'affirmation correspondante.
Il est crucial de garder à l'esprit le système de notation spécifique de ce concours. Chaque question comporte quatre affirmations qui peuvent être vraies ou fausses. Une bonne réponse vous rapporte des points, mais une mauvaise réponse entraîne des pénalités. En d'autres termes, une erreur vous coûte plus cher qu'une absence de réponse. Si vous vous perdez dans le calcul de la dérivée de la fonction g ou si vous n'arrivez pas à simplifier l'expression algébrique pour prouver sa parité, il est souvent préférable de s'abstenir sur ces items précis plutôt que de cocher au hasard.
Prenez l'habitude de traiter les affirmations les plus simples en premier. Par exemple, l'étude de la parité de la fonction f pour en déduire l'existence d'un centre ou d'un axe de symétrie est beaucoup plus rapide que la dérivation complète de l'autre fonction. Optimisez votre brouillon, écrivez lisiblement vos étapes de calcul, et n'hésitez pas à utiliser la technique de la quantité conjuguée si vous êtes bloqué dans l'argument du logarithme. Votre rigueur algébrique fera toute la différence pour réussir cette épreuve sélective.