Ce que demande cette question
La question 15 de l'épreuve de mathématiques du concours ACCÈS 2010 vous confronte à une étude de fonctions mêlant exponentielles, dérivation et calcul intégral. L'énoncé introduit deux fonctions distinctes, f et g, définies sur un intervalle précis. Votre premier objectif est d'analyser la fonction f en déterminant l'expression exacte de sa fonction dérivée, ce qui vous permettra de vérifier la première affirmation. Ensuite, la question vous oriente vers l'étude de la fonction auxiliaire g. Vous devez déterminer si cette fonction s'annule une unique fois sur un intervalle donné, ce qui requiert une analyse de ses variations et de ses limites ou valeurs aux bornes. La troisième affirmation vous demande d'établir un lien algébrique direct entre les deux fonctions, en calculant l'image par f de la racine de g. Enfin, la dernière proposition vous invite à évaluer une intégrale définie impliquant la fonction f. Il s'agit de vérifier si l'expression complexe proposée, qui inclut des logarithmes népériens et une autre intégrale, correspond bien au résultat du calcul de l'aire sous la courbe ou de la primitive associée. Vous devez donc faire preuve de rigueur algébrique tout au long de cette résolution.
Les notions à maîtriser
- La dérivation des fonctions quotients : savoir appliquer la formule de dérivation d'un quotient impliquant des fonctions exponentielles et polynomiales.
- Le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) : indispensable pour prouver l'existence et l'unicité d'une solution à une équation du type g(x) = 0 sur un intervalle donné.
- La manipulation algébrique : être capable de substituer une expression dans une autre pour simplifier f(a) en utilisant la relation g(a) = 0.
- L'intégration par parties : savoir transformer l'intégrale d'un produit de fonctions pour aboutir à une expression contenant des termes évalués et une nouvelle intégrale plus simple.
- Les propriétés du logarithme népérien et de l'exponentielle : nécessaires pour simplifier les bornes lors du calcul intégral.
Méthode et pièges au concours ACCÈS
Le concours ACCÈS présente une structure particulière qu'il faut impérativement prendre en compte dans votre stratégie de réponse. Chaque question comporte quatre affirmations indépendantes ou semi-indépendantes qu'il faut évaluer comme vraies ou fausses. Le barème est conçu pour pénaliser les réponses au hasard : une erreur vous coûtera toujours plus cher qu'une absence de réponse. Il est donc préférable de s'abstenir si vous n'êtes pas certain de votre calcul, particulièrement sur des intégrales complexes où une simple erreur de signe fausse tout le résultat.
Face à ce type d'exercice, la méthode la plus sûre consiste à procéder par étapes. Commencez par dériver soigneusement la fonction f au brouillon en posant clairement vos termes u et v. Une erreur de calcul à ce stade pourrait vous induire en erreur pour la suite. Pour l'étude de la fonction g, dressez un tableau de variations rapide mais complet. Le piège classique ici est de conclure à l'unicité d'une solution sans avoir formellement vérifié la stricte monotonie de la fonction sur l'intervalle considéré.
Concernant le calcul intégral, la dernière affirmation peut sembler intimidante par sa longueur. Ne vous laissez pas impressionner par l'expression finale. Posez votre intégration par parties de manière méthodique, en choisissant judicieusement la fonction à dériver et celle à intégrer. Prenez garde aux signes négatifs qui s'accumulent souvent lors de l'évaluation des bornes et de la soustraction de la seconde intégrale. Prenez le temps de vérifier chaque ligne de calcul, car la rigueur est votre meilleure alliée pour réussir cette épreuve exigeante.