Ce que demande cette question
Dans cette question issue de l'épreuve de mathématiques du concours ACCÈS, vous êtes confrontés à une expérience aléatoire classique qui demande une grande rigueur de modélisation. L'énoncé présente une urne contenant trois boules indiscernables au toucher, chacune arborant une couleur distincte : bleue, blanche et rouge. L'expérience consiste à effectuer un tirage d'une boule, à noter sa couleur, puis à la remettre dans l'urne avant le tirage suivant. Cette opération est répétée pour atteindre un total de cinq tirages successifs avec remise.
Le cœur du problème réside dans l'analyse des configurations de couleurs obtenues à l'issue de ces cinq tirages. Les quatre affirmations proposent d'évaluer des probabilités spécifiques. La première affirmation se concentre sur une condition de position, à savoir la probabilité que la première et la dernière boule tirées partagent la même couleur. Les trois autres affirmations portent sur la composition globale du tirage final. Vous devez déterminer la probabilité d'obtenir un tirage unicolore, un tirage bicolore impliquant exactement deux couleurs parmi les trois, et enfin un tirage tricolore où les trois couleurs apparaissent au moins une fois.
Les notions à maîtriser
Pour aborder cette question sereinement, vous devez être à l'aise avec plusieurs concepts fondamentaux du programme de probabilités :
- Le dénombrement des p-uplets : comprendre que les tirages successifs avec remise impliquent l'utilisation des puissances pour calculer le nombre total d'issues possibles.
- L'équiprobabilité : savoir appliquer la formule classique du quotient du nombre de cas favorables par le nombre de cas possibles.
- La notion d'événements indépendants : réaliser que la remise de la boule après chaque tirage rend chaque extraction totalement indépendante.
- La partition de l'univers : identifier que les événements unicolore, bicolore et tricolore forment une partition complète de l'ensemble des résultats.
Méthode et pièges au concours ACCÈS
La principale difficulté de ce type de question réside dans la gestion du temps. Un candidat mal préparé pourrait tenter de calculer la probabilité du tirage tricolore de manière directe, ce qui implique de lister de nombreuses combinaisons fastidieuses. La méthode la plus efficace consiste à utiliser la logique des probabilités complémentaires. Puisque tout tirage est nécessairement unicolore, bicolore ou tricolore, la somme de ces trois probabilités vaut un. Il est stratégique de calculer d'abord les événements les plus simples à dénombrer, puis d'en déduire le dernier par soustraction.
Soyez vigilants sur la lecture de la première affirmation. Le piège est de vouloir fixer toutes les boules, alors que seules la première et la dernière ont une contrainte. Les tirages intermédiaires sont libres et ne doivent pas restreindre votre dénombrement.
Enfin, gardez à l'esprit le barème de l'épreuve de raisonnement logique et mathématiques du concours ACCÈS. Une bonne réponse rapporte des points, mais une mauvaise réponse entraîne des pénalités. Une erreur coûte plus cher qu'une absence de réponse. Si vous calculez avec certitude certaines probabilités mais doutez des autres, il est préférable de ne cocher que vos certitudes pour sécuriser votre score plutôt que de risquer des points négatifs.