Ce que demande cette question
La question 17 de l'épreuve de mathématiques du concours ACCÈS 2011 vous confronte à l'étude d'une suite numérique définie de manière explicite. L'énoncé présente une suite dont le terme général s'exprime sous la forme d'un quotient impliquant un entier naturel, une racine carrée et un terme alterné. Votre objectif est d'analyser le comportement global et asymptotique de cette suite à travers quatre affirmations qu'il faudra juger vraies ou fausses.
Dans un premier temps, vous devez vous prononcer sur la convergence de la suite. Cela implique de calculer la limite du terme général lorsque l'indice tend vers l'infini, en gérant l'indétermination causée par le quotient. Ensuite, il vous est demandé de déterminer le signe de la suite, c'est-à-dire de vérifier si tous les termes sont positifs ou nuls. La troisième affirmation porte sur le caractère borné de la suite, ce qui nécessite de savoir si l'ensemble des valeurs prises est encadré par deux réels. Enfin, la dernière proposition vous interroge sur la monotonie de la suite. La présence du terme alterné au numérateur constitue le cœur du problème et doit guider votre réflexion.
Les notions à maîtriser
Pour aborder cette question avec sérénité, vous devez maîtriser plusieurs concepts fondamentaux du programme :
- Le calcul de limites : vous devez savoir factoriser par le terme de plus haut degré au numérateur et au dénominateur pour déterminer la limite d'une fraction.
- La gestion des suites alternées : il est crucial de comprendre comment le terme en puissance de moins un influence le comportement asymptotique et les variations de la suite.
- L'étude du signe d'une suite : vous devez être capable d'analyser séparément le signe du numérateur et du dénominateur en utilisant des inégalités classiques.
- Le lien entre convergence et suite bornée : il faut vous rappeler le théorème fondamental stipulant que toute suite convergente est nécessairement bornée.
Méthode et pièges au concours ACCÈS
Le concours ACCÈS possède un système de notation très spécifique qu'il faut toujours garder à l'esprit. Chaque question comporte quatre affirmations. Une bonne réponse vous rapporte des points, mais une mauvaise réponse entraîne des pénalités. Une absence de réponse ne vous rapporte ni ne vous enlève de points. Par conséquent, il est impératif de ne pas répondre au hasard. Si vous avez un doute sur la monotonie, il vaut mieux vous abstenir sur cette affirmation précise plutôt que de risquer de perdre les points acquis sur le calcul de la limite.
Le principal piège de cette question réside dans l'affirmation concernant la croissance de la suite. Les candidats ont souvent tendance à regarder l'allure générale sans prêter attention à l'alternance de signe. Calculez toujours les premiers termes au brouillon. Cette méthode empirique est une astuce redoutable au concours ACCÈS pour trouver rapidement un contre-exemple. Si la suite monte puis descend, vous pouvez immédiatement déduire que l'affirmation sur la croissance est fausse, sans calculs fastidieux. Enfin, pour la limite, n'oubliez pas que le terme en racine carrée devient négligeable devant l'entier naturel, ce qui simplifie grandement la levée de l'indétermination.