Ce que demande cette question
Cette question de l'épreuve de raisonnement logique du concours ACCÈS 2013 vous plonge dans une situation concrète d'investissement. Vous devez aider une entreprise à sélectionner un contrat de location d'engin parmi trois options. L'objectif principal est de modéliser l'évolution du coût de chaque contrat au fil des années à l'aide des suites numériques.
Le premier contrat propose un loyer mensuel qui subit une augmentation annuelle en pourcentage. Le deuxième contrat est plus direct, affichant un coût annuel qui augmente d'une somme fixe chaque année. Enfin, le troisième contrat présente une complexité supplémentaire : le montant de base est mensuel, mais il subit une augmentation en pourcentage deux fois par an, en janvier et en juillet.
L'énoncé définit trois suites correspondant aux montants annuels de ces contrats selon le nombre d'années écoulées. Les affirmations à évaluer vous demandent de vérifier l'expression algébrique du terme général de chaque suite. La dernière affirmation exige d'aller plus loin en déterminant, grâce aux logarithmes népériens, l'année exacte où le coût annuel du premier contrat rattrape celui du troisième.
Les notions à maîtriser
- Les suites arithmétiques : vous devez savoir identifier une évolution à accroissement constant et formuler le terme général en fonction du premier terme et de la raison.
- Les suites géométriques : il est impératif de maîtriser la traduction d'une évolution en pourcentage par une multiplication, et d'écrire le terme général d'une suite géométrique.
- La gestion des unités de temps : la conversion rigoureuse entre des montants mensuels, semestriels et annuels est au cœur de la modélisation demandée.
- Le calcul algébrique et les logarithmes : la résolution d'équations exponentielles du type puissance nécessite une excellente maîtrise des propriétés de la fonction logarithme népérien.
Méthode et pièges au concours ACCÈS
La difficulté majeure réside dans la lecture attentive de l'énoncé, car le concepteur joue sur les unités temporelles. Pour le premier et le troisième contrat, les montants initiaux sont mensuels, mais les suites représentent des montants annuels. Il est crucial de multiplier les loyers mensuels par douze avant d'établir la formule, ou de comprendre comment l'augmentation s'applique sur l'année.
Un autre piège classique concerne l'indice de départ des suites. L'énoncé précise que le nombre d'années de location est représenté par la variable, ce qui implique que la première année correspond au rang un, et non au rang zéro. Les formules du terme général doivent donc utiliser une puissance ou un multiplicateur ajusté avec un décalage, ce qui explique la présence des termes modifiés dans les affirmations proposées.
Enfin, gardez toujours à l'esprit la spécificité du barème de l'épreuve de mathématiques du concours ACCÈS. Une mauvaise réponse entraîne des points de pénalité, et une erreur vous coûte plus cher qu'une absence de réponse. Si vous parvenez à identifier facilement la nature des suites pour les trois premières affirmations mais que le calcul logarithmique de la dernière affirmation vous semble trop chronophage ou incertain, il est souvent stratégique de ne pas cocher cette dernière case. Sécurisez les points sur les modélisations de base et ne prenez des risques que si votre maîtrise des équations logarithmiques est totale.