Ce que demande cette question

Dans cette septième question de l'épreuve de raisonnement mathématique du concours ACCÈS 2013, vous êtes confronté à l'étude d'une fonction définie sur l'ensemble des réels. L'énoncé vous présente une fonction paramétrée comportant une partie exponentielle, dont l'expression générale dépend de deux constantes réelles inconnues. Pour démarrer l'exercice, vous disposez de deux informations géométriques cruciales concernant la courbe représentative de cette fonction. D'une part, on vous indique les coordonnées précises d'un point par lequel passe la courbe. D'autre part, on vous donne la valeur de la pente de la tangente à la courbe en ce point spécifique.

Votre premier travail consiste à traduire ces données graphiques en équations mathématiques afin de déterminer les valeurs exactes des deux paramètres. Une fois cette étape d'identification franchie, les quatre affirmations proposées vous invitent à réaliser une étude de fonction complète. Vous devrez d'abord vérifier l'expression de la fonction dérivée, puis valider les valeurs des paramètres trouvés. Ensuite, il vous sera demandé de déterminer l'existence et la valeur exacte d'un éventuel extremum local, en l'occurrence un maximum. Enfin, la dernière affirmation vous pousse à utiliser un théorème d'analyse classique pour justifier l'existence et l'unicité d'une solution à une équation, tout en vérifiant un encadrement précis de cette solution.

Les notions à maîtriser

• Dérivation d'un produit de fonctions : savoir appliquer la formule de dérivation pour un produit impliquant une fonction affine et une fonction exponentielle composée.
• Interprétation graphique de la dérivée : comprendre que la pente de la tangente en un point d'abscisse donnée correspond exactement au nombre dérivé de la fonction en ce point.
• Étude des variations et recherche d'extremum : être capable d'étudier le signe de la dérivée pour en déduire le tableau de variations de la fonction et identifier un maximum.
• Théorème de la bijection : savoir l'appliquer, en tant que corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, pour prouver l'existence et l'unicité d'une solution à une équation sur un intervalle donné.

Méthode et pièges au concours ACCÈS

Pour réussir ce type de question au concours ACCÈS, la rigueur dans les premières étapes de calcul est absolument fondamentale. Le piège principal de cet exercice réside dans son aspect séquentiel. Si vous commettez une erreur lors de la traduction des conditions initiales pour trouver les constantes, vous risquez de fausser l'intégralité de votre étude de fonction. Prenez donc le temps de bien écrire que l'image de l'abscisse vaut l'ordonnée du point, et que la dérivée évaluée en cette même abscisse correspond à la pente de la tangente.

Lors du calcul de la dérivée, faites très attention à la règle des signes et à la dérivation de la fonction exponentielle composée. Une erreur de signe est vite arrivée et inverserait complètement le tableau de variations, ce qui vous ferait répondre de manière erronée aux affirmations suivantes. Pour la dernière affirmation, n'oubliez pas de vérifier scrupuleusement toutes les hypothèses du théorème des valeurs intermédiaires, notamment la stricte monotonie sur l'intervalle considéré, et calculez les images des bornes de l'encadrement proposé pour conclure.

Gardez toujours à l'esprit les spécificités du barème de l'épreuve de raisonnement logique et mathématiques du concours ACCÈS. Une mauvaise réponse est lourdement pénalisée et vous fait perdre des points, ce qui est bien plus dommageable qu'une absence de réponse. Si vous bloquez sur le calcul de la dérivée ou si vous avez un doute persistant sur l'encadrement de la solution finale, il est souvent préférable de laisser l'affirmation sans réponse plutôt que de cocher au hasard. Assurez vos points sur les affirmations dont vous êtes certain, comme l'identification initiale des paramètres, et gérez votre temps intelligemment sur les deux heures d'épreuve.