Ce que demande cette question

Dans cette douzième question de l'épreuve de raisonnement logique et mathématique du concours ACCÈS 2014, vous êtes confronté à l'étude d'une fonction logarithmique spécifique. L'énoncé vous définit une fonction sur l'intervalle des réels strictement positifs, qui s'exprime comme le quotient du logarithme népérien de la variable par le logarithme népérien de dix. Cette écriture correspond en réalité à la définition mathématique du logarithme décimal, bien que le sujet ne l'explicite pas directement.

À partir de cette unique fonction, vous devez évaluer quatre affirmations distinctes. Les trois premières propositions vous demandent de vérifier des propriétés algébriques fondamentales appliquées à cette fonction précise. Vous devrez notamment tester le comportement de la fonction face à un produit, une puissance entière, et un inverse. La dernière affirmation vous interroge sur l'existence et l'expression de la fonction réciproque, en proposant une fonction exponentielle de base dix définie sur l'ensemble des réels. Il s'agit donc d'un exercice de manipulation algébrique pure où la rigueur calculatoire est indispensable pour déterminer si chaque proposition est exacte ou erronée.

Les notions à maîtriser

• Les propriétés algébriques du logarithme népérien : savoir transformer le logarithme d'un produit, d'un quotient ou d'une puissance est le cœur de cet exercice.
• La notion de fonction réciproque : comprendre ce que signifie mathématiquement l'inversion d'une fonction bijective et savoir isoler la variable initiale en fonction de la variable finale.
• Le lien entre logarithme et exponentielle : maîtriser les identités fondamentales qui relient ces deux fonctions transcendantes, notamment le fait que l'exponentielle annule le logarithme et inversement.
• Les ensembles de définition : vérifier systématiquement sur quels intervalles les fonctions directes et réciproques sont valables pour éviter les erreurs de domaine.

Méthode et pièges au concours ACCÈS

L'épreuve de mathématiques du concours ACCÈS est réputée pour sa densité et son système de notation particulier. Face à une question portant sur les logarithmes, la méthode la plus efficace consiste à simplifier les expressions proposées en utilisant les formules de cours avant de les comparer à l'énoncé. Ne vous laissez pas intimider par la présence du logarithme de dix au dénominateur ; traitez-le simplement comme une constante réelle qui accompagne vos calculs.

Un piège classique dans ce type d'exercice est de confondre les opérations, par exemple en transformant le logarithme d'une somme au lieu du logarithme d'un produit. Prenez le temps d'écrire chaque étape de votre calcul au brouillon. Pour la recherche de la fonction réciproque, posez clairement l'équation initiale et procédez par équivalences successives en appliquant la fonction exponentielle de manière appropriée de chaque côté de l'égalité.

Gardez toujours à l'esprit le barème spécifique du concours ACCÈS. Chaque question comporte quatre affirmations indépendantes. Une erreur de jugement est lourdement pénalisée et vous fait perdre plus de points qu'une absence de réponse. Si vous parvenez à démontrer avec certitude la validité de trois affirmations mais que vous bloquez sur la dernière, il est souvent stratégiquement préférable de vous abstenir sur celle-ci. La gestion du risque est une compétence tout aussi importante que vos connaissances mathématiques pour réussir cette épreuve exigeante.