Ce que demande cette question

Dans cette neuvième question de l'épreuve de raisonnement mathématique du concours ACCÈS 2014, vous êtes confronté à l'étude d'une fonction dépendant de deux paramètres réels. L'énoncé vous présente une fonction rationnelle faisant intervenir l'exponentielle, définie sur l'intervalle des réels positifs. Pour pouvoir analyser cette fonction, on vous fournit des informations géométriques cruciales : les coordonnées de deux points spécifiques et une condition de tangence en l'un de ces points.

Votre premier objectif est de traduire ces informations géométriques en équations mathématiques. La droite passant par les deux points donnés est tangente à la courbe représentative de la fonction au point d'abscisse nulle. Cela vous impose de calculer le coefficient directeur de cette droite et de le relier à la valeur de la dérivée de la fonction en zéro.

Ensuite, les affirmations vous demandent de vérifier les valeurs de la fonction et de sa dérivée en zéro, de déterminer l'expression générale de la fonction dérivée, d'identifier les valeurs exactes des deux paramètres inconnus, et enfin de résoudre une équation croisant cette première fonction avec une seconde fonction exponentielle. Vous devez donc faire preuve de rigueur dans vos calculs algébriques pour valider ou invalider chacune de ces propositions.

Les notions à maîtriser

Pour aborder cette question avec sérénité, vous devez être parfaitement à l'aise avec plusieurs concepts fondamentaux de l'analyse au lycée :

• La dérivation des fonctions composées : savoir dériver un quotient et maîtriser la dérivée de la fonction exponentielle composée, notamment la forme exponentielle de type u(x).
• L'équation de la tangente : comprendre le lien direct entre le nombre dérivé en un point et le coefficient directeur de la tangente à la courbe en ce point.
• La résolution de systèmes d'équations : être capable de traduire des conditions graphiques en un système de deux équations à deux inconnues pour trouver les paramètres manquants.
• La résolution d'équations avec exponentielles et logarithmes : savoir isoler une exponentielle et utiliser le logarithme népérien pour résoudre des équations du type f(x) = g(x).

Méthode et pièges au concours ACCÈS

L'épreuve de mathématiques du concours ACCÈS est réputée pour sa gestion du temps exigeante et son système de notation particulier. Il est impératif de se rappeler que chaque question comporte quatre affirmations indépendantes ou liées, et que le barème pénalise lourdement les erreurs. Une mauvaise réponse vous fera perdre plus de points qu'une absence de réponse. Il est donc préférable de s'abstenir si vous n'êtes pas certain de votre calcul.

Dans ce type d'exercice, le piège principal réside dans la précipitation lors du calcul de la dérivée. Une erreur de signe ou un oubli de la dérivée interne lors de la dérivation du dénominateur faussera l'intégralité de la suite du problème, notamment la détermination des paramètres. Prenez le temps de poser clairement vos formules sur votre brouillon.

De plus, l'affirmation concernant la dérivée est une question de cours déguisée : vérifiez bien si le numérateur proposé correspond à la formule exacte du quotient. Enfin, pour la dernière affirmation, ne vous laissez pas intimider par l'expression logarithmique. Remplacez les paramètres par les valeurs trouvées précédemment, posez votre équation, et procédez par équivalences successives. La rigueur algébrique est votre meilleure alliée pour sécuriser vos points sans tomber dans les pièges classiques de l'épreuve.