Ce que demande cette question
Dans cette question de l'épreuve de mathématiques du concours ACCÈS 2015, vous affrontez un problème classique d'application économique. L'énoncé vous présente une entreprise spécialisée dans la fabrication de clés USB, dont la production mensuelle est plafonnée à dix mille unités. Les dépenses sont modélisées par une fonction polynomiale de degré trois, représentant le coût en milliers d'euros selon le nombre de milliers de clés produites.
Votre objectif est d'analyser cette fonction de coût pour évaluer la véracité de quatre affirmations distinctes. La première proposition interroge sur le sens de variation de la fonction, ce qui nécessite une lecture attentive des unités. Les trois affirmations suivantes se concentrent sur l'étude plus poussée de la courbe représentative de cette fonction. Vous devez notamment déterminer l'existence et la position exacte d'un point d'inflexion, et interpréter ce résultat en termes de concavité et de convexité. Enfin, il vous est demandé de faire le lien entre ces propriétés géométriques et la réalité économique de l'entreprise, en traduisant mathématiquement l'accélération ou le ralentissement de la croissance des coûts de production.
Les notions à maîtriser
Pour aborder cette question sereinement et éviter les erreurs d'interprétation, vous devez maîtriser plusieurs concepts fondamentaux du programme d'analyse :
- Le calcul de dérivées : savoir dériver une fonction polynomiale de degré trois pour obtenir la dérivée première, puis dériver à nouveau pour trouver la dérivée seconde.
- L'étude des variations : utiliser le signe de la dérivée première pour déduire les intervalles sur lesquels la fonction de coût est croissante ou décroissante.
- La convexité et la concavité : relier le signe de la dérivée seconde à la forme de la courbe, en sachant qu'une dérivée seconde positive indique une fonction convexe, et une dérivée seconde négative indique une fonction concave.
- Les points d'inflexion : identifier les valeurs pour lesquelles la dérivée seconde s'annule en changeant de signe, marquant ainsi un changement de concavité de la courbe.
- La modélisation économique : comprendre la correspondance entre les notions mathématiques et le vocabulaire économique, comme l'accélération ou le ralentissement de la croissance des coûts.
Méthode et pièges au concours ACCÈS
Cette question illustre parfaitement les pièges classiques du concours ACCÈS. La première erreur à éviter concerne les unités. L'énoncé précise que la variable représente des milliers de clés, tandis que l'intervalle proposé dans l'une des affirmations utilise le nombre total d'unités. Une lecture trop rapide vous conduirait inévitablement à valider une proposition fausse simplement à cause d'une confusion sur le domaine de définition. Prenez toujours le temps de bien définir l'intervalle d'étude avant de commencer vos calculs.
Ensuite, la rigueur est de mise lors de l'étude de la dérivée seconde. Ne vous contentez pas de trouver la valeur qui annule cette dérivée pour affirmer l'existence d'un point d'inflexion. Il est impératif de vérifier que la dérivée seconde change effectivement de signe de part et d'autre de cette valeur. De plus, assurez-vous de bien maîtriser le vocabulaire associé : une fonction convexe correspond à une croissance qui s'accélère, tandis qu'une fonction concave traduit une croissance qui ralentit.
Enfin, gardez à l'esprit les spécificités du barème de l'épreuve de raisonnement logique et mathématiques. Vous devez juger quatre affirmations indépendantes. Une erreur est lourdement pénalisée et coûte plus cher qu'une absence de réponse. Si vous hésitez sur un calcul de dérivée, abstenez-vous plutôt que de risquer des points négatifs. Gérez votre temps avec stratégie et concentrez-vous sur les calculs dont vous êtes absolument certain.