Ce que demande cette question

Pour cette septième question de l'épreuve de raisonnement logique et mathématique du concours ACCÈS 2016, vous êtes confronté à l'étude classique d'une fonction composée. L'énoncé vous présente une fonction qui associe le logarithme népérien à une fonction rationnelle, plus précisément une fonction homographique. À partir de cette unique expression algébrique, vous devez évaluer la véracité de quatre affirmations distinctes qui balayent l'ensemble des propriétés fondamentales de l'analyse fonctionnelle au programme de terminale.

La première affirmation vous demande de déterminer avec précision le domaine de définition de cette fonction. Il s'agit d'une étape incontournable qui conditionne la suite de l'exercice. La deuxième proposition vous invite à résoudre une équation du type f(x) = 1 afin de trouver les coordonnées d'un éventuel point d'intersection avec une droite horizontale, tout en vérifiant le signe de l'abscisse obtenue. Ensuite, la troisième affirmation se concentre sur le sens de variation de la fonction sur un intervalle spécifique, ce qui requiert soit un calcul de dérivée, soit l'utilisation des théorèmes sur la composition des sens de variation. Enfin, la dernière proposition porte sur le comportement asymptotique de la courbe représentative, vous demandant de calculer des limites aux bornes du domaine pour confirmer ou infirmer la présence d'une asymptote horizontale confondue avec l'axe des abscisses.

Les notions à maîtriser

Pour aborder cette question sereinement, vous devez être parfaitement à l'aise avec les concepts suivants :

• Le domaine de définition du logarithme népérien : vous devez savoir que l'argument de la fonction logarithme doit être strictement positif et être capable de dresser un tableau de signes pour un quotient.
• La résolution d'équations logarithmiques : il est impératif de maîtriser le passage à l'exponentielle pour isoler l'inconnue et résoudre des équations rationnelles.
• La dérivation des fonctions composées : vous devez connaître la formule de la dérivée de ln(u) ou savoir déduire les variations d'une fonction composée à partir des variations de ses fonctions de référence.
• Le calcul de limites et les asymptotes : la détermination des limites d'une fonction rationnelle à l'infini et la limite du logarithme en un réel strictement positif sont nécessaires pour identifier les asymptotes horizontales ou verticales.

Méthode et pièges au concours ACCÈS

L'épreuve de mathématiques du concours ACCÈS est particulièrement exigeante en termes de gestion du temps et de prise de risque. Face à une fonction logarithmique composée d'un quotient, le piège le plus fréquent est de se précipiter sur le calcul de la dérivée sans avoir préalablement sécurisé le domaine de définition. Une erreur de signe dans le tableau initial faussera inévitablement votre jugement sur la première affirmation et pourrait vous induire en erreur pour les calculs de limites.

Il est également crucial de se rappeler le fonctionnement spécifique du barème de ce concours. Chaque question comporte quatre affirmations indépendantes que vous devez évaluer par VRAI ou FAUX. Une bonne réponse vous rapporte des points, mais une mauvaise réponse entraîne des pénalités importantes. En effet, une erreur vous coûte plus cher qu'une absence de réponse. Si vous parvenez à déterminer le domaine de définition et à calculer la limite, mais que le calcul de la dérivée vous pose problème, il est stratégiquement préférable de laisser la case correspondante vide plutôt que de cocher au hasard. Prenez le temps de poser vos calculs au brouillon, notamment pour la résolution de l'équation avec l'exponentielle, car les erreurs de calcul mental sont lourdement sanctionnées par ce système de notation.