Ce que demande cette question
Dans cette neuvième question de l'épreuve de raisonnement logique et mathématiques du concours ACCÈS 2016, vous êtes confronté à un problème d'analyse fonctionnelle centré sur un polynôme du troisième degré. L'énoncé vous donne la forme générale d'une fonction dépendant de quatre paramètres réels inconnus. Pour déterminer ces coefficients, vous disposez d'informations géométriques précises concernant la courbe représentative de cette fonction. On vous indique les coordonnées de deux points par lesquels passe la courbe, ainsi que la pente des tangentes en ces points, qui s'avèrent être parallèles à la première bissectrice du repère.
Une fois cette phase d'identification réalisée, les affirmations vous invitent à mener une étude complète de la fonction trouvée. Vous devrez valider l'expression algébrique exacte de la fonction. Ensuite, il vous sera demandé de déterminer l'existence et la valeur d'un extremum local sur un intervalle donné, ce qui implique une étude rigoureuse du signe de la fonction dérivée. L'affirmation suivante teste votre capacité à déduire les variations de la fonction sur un segment précis. Enfin, la dernière affirmation vous demande de dénombrer les solutions d'une équation, nécessitant l'application du théorème des valeurs intermédiaires.
Les notions à maîtriser
- Dérivation et interprétation géométrique : vous devez savoir que le nombre dérivé en un point correspond au coefficient directeur de la tangente à la courbe en ce point.
- Résolution de systèmes d'équations : la traduction des données de l'énoncé conduit à un système linéaire qu'il faut savoir résoudre avec méthode.
- Étude des variations d'une fonction : il est indispensable de maîtriser le calcul de la dérivée d'un polynôme et l'étude du signe d'un trinôme du second degré.
- Théorème des valeurs intermédiaires : vous devez être capable d'utiliser ce théorème pour justifier le nombre exact de solutions d'une équation.
Méthode et pièges au concours ACCÈS
Pour aborder sereinement ce type de question au concours ACCÈS, la rigueur algébrique est votre meilleure alliée. La première étape consiste à traduire mathématiquement chaque information de l'énoncé. Le passage de la courbe par un point donne une équation directe, tandis que l'information sur les tangentes vous renseigne sur la valeur de la dérivée. Un piège classique est de confondre la valeur de la fonction et la valeur de sa dérivée en un point. Prenez le temps de poser clairement votre système.
Une fois la fonction identifiée, ne vous précipitez pas sur les calculs sans avoir dressé un tableau de variations complet. Les erreurs de signe lors du calcul du discriminant sont fréquentes et peuvent vous faire perdre des points en cascade. Le calcul de l'extremum local demande également une bonne maîtrise des manipulations de fractions et de racines carrées.
Enfin, gardez toujours à l'esprit les spécificités du barème de l'épreuve de raisonnement logique et mathématiques. Les pénalités pour mauvaises réponses sont particulièrement dissuasives. Une erreur vous coûte en effet plus cher qu'une absence de réponse. Si vous n'arrivez pas à résoudre le système initial ou si vous avez un doute sérieux sur l'application du théorème des valeurs intermédiaires, il est stratégiquement plus rentable de vous abstenir. Gérez votre temps de manière optimale durant ces deux heures d'épreuve.