Ce que demande cette question
La question 12 de l'épreuve de raisonnement logique et mathématiques du concours ACCÈS 2016 vous plonge dans un problème classique de probabilités faisant intervenir des transferts de boules entre deux urnes. Vous êtes face à une première urne contenant un nombre variable de boules blanches et un nombre fixe de boules noires, et une seconde urne dont la composition initiale est entièrement connue. L'expérience aléatoire consiste à effectuer un tirage dans la première urne pour l'introduire dans la seconde, puis à réaliser l'opération inverse. Ce chassé-croisé modifie temporairement puis définitivement la composition des deux récipients.
L'énoncé définit ensuite deux événements spécifiques liés à l'état final des urnes, notamment le retour à la configuration de départ. Dans un second temps, le problème introduit un aspect financier sous la forme d'un jeu de hasard. Un joueur mise une somme de départ et reçoit un gain brut qui dépend du nombre de boules blanches présentes dans la deuxième urne à la fin de l'expérience. Vous devez analyser la variable aléatoire correspondant au gain algébrique du joueur, c'est-à-dire le gain réel une fois la mise initiale déduite. Les quatre affirmations à évaluer vous demandent de calculer des probabilités d'événements précis, de déterminer l'expression de l'espérance mathématique en fonction du paramètre initial, et enfin de résoudre une inéquation pour savoir à partir de quelle condition le jeu devient favorable au joueur.
Les notions à maîtriser
- Les arbres de probabilités : savoir modéliser une succession d'épreuves dépendantes en pondérant correctement les branches à chaque étape.
- La formule des probabilités totales : indispensable pour calculer la probabilité d'un événement final en tenant compte de tous les chemins possibles.
- Les variables aléatoires : comprendre la différence entre un gain brut et un gain algébrique, et savoir dresser la loi de probabilité associée.
- L'espérance mathématique : être capable de calculer la somme des produits des valeurs par leurs probabilités, puis de simplifier l'expression algébrique obtenue.
- Le calcul algébrique et les inéquations : savoir étudier le signe d'une fraction rationnelle ou d'un polynôme du second degré pour déterminer si une espérance est positive.
Méthode et pièges au concours ACCÈS
Pour aborder sereinement ce type d'exercice, la première étape incontournable est la construction d'un arbre de probabilités clair et suffisamment grand. Prenez le temps de bien noter la composition de la deuxième urne après le premier transfert, car c'est ici que se cache la principale source d'erreurs. Le tirage de retour dépend entièrement de la boule qui vient d'être ajoutée. Un autre piège classique réside dans la définition de la variable aléatoire : n'oubliez jamais de soustraire la mise initiale de vingt euros aux gains bruts annoncés pour obtenir le gain algébrique correct. Une erreur sur les valeurs de la variable faussera inévitablement le calcul de l'espérance mathématique.
Gardez également à l'esprit la spécificité du concours ACCÈS. Le temps est limité et les calculs algébriques demandés dans les dernières affirmations peuvent s'avérer chronophages. Si vous bloquez sur la simplification de l'espérance, il peut être stratégique de passer à une autre question. N'oubliez pas le système de notation de l'épreuve de raisonnement logique et mathématiques : une mauvaise réponse est lourdement pénalisée et vous fait perdre plus de points qu'une absence de réponse. Il est donc préférable de laisser une affirmation sans réponse plutôt que de cocher au hasard si vous n'avez pas abouti au résultat exact par le calcul.