Ce que demande cette question

Dans cette neuvième question de l'épreuve de raisonnement logique et mathématiques du concours ACCÈS 2017, vous êtes confronté à l'étude d'une famille de fonctions paramétrées par un réel k. La fonction proposée est définie sur l'intervalle ouvert allant de zéro à un, et elle combine une fonction polynôme de degré un avec le carré de la fonction logarithme népérien. L'énoncé introduit également la courbe représentative de cette fonction dans un repère orthonormé, ainsi qu'un point spécifique dont l'abscisse est fixée à un.

Les quatre affirmations qui suivent vous demandent d'explorer différentes propriétés analytiques et géométriques de cette famille de courbes. Vous devrez notamment vérifier l'existence de tangentes horizontales pour une valeur particulière du paramètre, déterminer l'équation de la tangente au point d'abscisse un en fonction du paramètre, calculer la dérivée de la fonction pour une autre valeur spécifique du paramètre, et enfin, analyser si la courbe peut croiser l'axe des abscisses selon les valeurs prises par le réel k. Il s'agit donc d'un exercice classique d'analyse fonctionnelle qui requiert de la rigueur dans les calculs algébriques et une bonne vision géométrique des propriétés des fonctions.

Les notions à maîtriser

Pour aborder sereinement cette question, vous devez être parfaitement à l'aise avec les concepts fondamentaux de l'analyse en classe de terminale. Voici les points essentiels à réviser :

• La dérivation des fonctions composées et des produits : savoir appliquer la formule de la dérivée d'un produit et maîtriser la dérivée de la fonction logarithme népérien, y compris lorsqu'elle est élevée au carré.
• L'équation de la tangente : connaître sur le bout des doigts la formule donnant l'équation de la tangente à une courbe en un point d'abscisse donnée, et savoir l'appliquer avec un paramètre.
• Le lien entre dérivée et tangente : comprendre qu'une tangente parallèle à l'axe des abscisses correspond à un nombre dérivé nul, et savoir résoudre l'équation correspondante.
• La résolution d'équations avec le logarithme : être capable de factoriser des expressions contenant des logarithmes et de résoudre des équations pour trouver les points d'intersection avec l'axe des abscisses.

Méthode et pièges au concours ACCÈS

L'épreuve de mathématiques du concours ACCÈS est réputée pour sa difficulté et son format très spécifique. Face à une question d'analyse comportant un paramètre, la première étape indispensable est de calculer la fonction dérivée de manière générale, en conservant le paramètre k, avant même de lire les affirmations en détail. Prenez le temps de factoriser au maximum votre résultat, car une forme factorisée simplifie grandement l'étude du signe et la recherche des annulations de la dérivée.

Un piège classique dans ce type d'exercice est de se précipiter sur les calculs sans faire attention à l'ensemble de définition. Ici, la fonction est définie strictement entre zéro et un, ce qui signifie que le logarithme népérien sera toujours strictement négatif. Gardez cette information à l'esprit lors de vos résolutions d'équations ou de vos études de signes. De plus, faites très attention lors de la dérivation du terme au carré : l'oubli du facteur deux ou de la dérivée interne est une erreur fréquente qui faussera l'intégralité de vos conclusions pour les affirmations suivantes.

Enfin, n'oubliez jamais le fonctionnement du barème de l'épreuve de raisonnement logique et mathématiques du concours ACCÈS. Chaque question comporte quatre affirmations, et vous devez indiquer pour chacune si elle est vraie ou fausse. Une bonne réponse vous rapporte des points, mais une mauvaise réponse vous en fait perdre. Une absence de réponse ne vous pénalise pas. Par conséquent, une erreur coûte toujours plus cher qu'une abstention. Si vous bloquez sur le calcul d'une dérivée ou sur une équation paramétrée, il est stratégiquement préférable de laisser la case vide plutôt que de cocher au hasard. Concentrez-vous sur les affirmations dont vous êtes certain de la démonstration mathématique.