Ce que demande cette question

Pour cette sixième question du concours ACCÈS 2025, vous êtes confronté à l'étude de deux fonctions réelles. L'énoncé définit tout d'abord une fonction algébrique faisant intervenir une racine cubique et un carré, puis construit une seconde fonction en composant la première avec le logarithme népérien. Votre objectif est d'évaluer la véracité de quatre affirmations distinctes portant sur les propriétés analytiques de ces deux objets mathématiques. La première affirmation demande de déterminer le domaine de définition de la fonction composée, impliquant de connaître les restrictions du logarithme népérien. La deuxième affirmation porte sur la dérivée en un point, nécessitant de maîtriser la dérivation en chaîne. La troisième affirmation invite à étudier la concavité sur un intervalle, ce qui requiert l'analyse du signe de la dérivée seconde. Enfin, la dernière affirmation s'intéresse à la parité de la fonction initiale, vous demandant de vérifier si elle satisfait la définition classique d'une fonction paire.

Les notions à maîtriser

Pour aborder sereinement cette question, vous devez mobiliser plusieurs concepts fondamentaux de l'analyse mathématique.

• Le domaine de définition : vous devez savoir identifier les valeurs pour lesquelles une fonction composée existe, en particulier le fait que l'argument d'un logarithme népérien doit être strictement positif.
• La dérivation des fonctions composées : il est impératif de maîtriser les formules de dérivation, notamment pour les fonctions de la forme logarithme de u et les puissances fractionnaires.
• La convexité et la concavité : vous devez être capable de lier la concavité d'une fonction au signe de sa dérivée seconde sur un intervalle donné.
• La parité d'une fonction : il faut connaître la définition algébrique d'une fonction paire et savoir l'appliquer en remplaçant la variable par son opposé.

Méthode et pièges au concours ACCÈS

Le concours ACCÈS est réputé pour sa difficulté et la précision qu'il exige de la part des candidats. Face à une question d'analyse fonctionnelle comme celle-ci, la méthode la plus sûre consiste à procéder par étapes rigoureuses. Avant même de lire les affirmations, prenez l'habitude de simplifier les expressions mathématiques si cela est possible. Par exemple, l'utilisation des propriétés du logarithme népérien peut grandement faciliter le calcul des dérivées ultérieures. Soyez extrêmement vigilant lors de la détermination du domaine de définition, car une erreur à cette étape fausse souvent l'ensemble de l'exercice. Un piège classique consiste à oublier que le carré d'un nombre non nul est toujours strictement positif, ce qui influence directement l'existence du logarithme. Lors du calcul de la dérivée première puis de la dérivée seconde, prenez le temps de bien écrire chaque étape au brouillon pour éviter les erreurs de signe ou de fraction. Concernant la gestion de l'épreuve, gardez toujours à l'esprit le système de notation spécifique du concours ACCÈS. Chaque question comporte quatre affirmations qui peuvent être vraies ou fausses. Le barème pénalise lourdement les erreurs : une mauvaise réponse vous fera perdre plus de points qu'une absence de réponse. Il est donc stratégiquement préférable de ne cocher une case que si vous êtes absolument certain de votre démonstration mathématique. Si le calcul de la dérivée seconde vous semble trop chronophage ou incertain, il vaut mieux laisser l'affirmation correspondante sans réponse plutôt que de risquer des points négatifs qui feraient chuter votre note globale.