Ce que demande cette question
La question 9 de l'épreuve de raisonnement mathématique du concours ACCÈS 2024 vous plonge dans une situation concrète de contrôle qualité industriel. Vous êtes face à une usine qui fabrique des clous dont la longueur théorique est de 1,8 centimètre. Toutefois, la production n'est pas parfaite et les longueurs réelles varient. L'énoncé vous fournit un tableau décrivant la loi de probabilité d'une variable aléatoire discrète, notée X, qui représente les différentes longueurs possibles des clous prélevés dans une caisse de stockage.
À partir de cette distribution de probabilités, vous devez évaluer la véracité de quatre affirmations distinctes. La première affirmation vous demande de calculer l'espérance mathématique de cette variable aléatoire afin de vérifier si elle correspond à la longueur théorique annoncée. La deuxième affirmation vous invite à déterminer la probabilité d'un événement simple, à savoir tirer un clou dont la taille est supérieure ou égale à une certaine valeur, ce qui nécessite de sommer les probabilités adéquates lues dans le tableau.
Les deux dernières affirmations complexifient la situation en introduisant des tirages successifs avec remise. Vous devez analyser un schéma où quatre clous sont prélevés indépendamment les uns des autres. Il s'agit alors de modéliser la probabilité d'obtenir au moins un clou répondant à un critère de taille spécifique. Vous devrez traduire des expressions littérales telles que « un ou plusieurs clous » en formules mathématiques rigoureuses pour valider ou invalider les propositions de l'énoncé.
Les notions à maîtriser
Pour aborder cette question avec sérénité, vous devez être parfaitement à l'aise avec le programme de probabilités du lycée. Voici les concepts clés à mobiliser :
- La loi de probabilité d'une variable aléatoire discrète : savoir lire un tableau de distribution et vérifier que la somme des probabilités vaut bien un.
- Le calcul de l'espérance mathématique : maîtriser la formule de la somme des produits des valeurs par leurs probabilités respectives.
- Les probabilités d'événements composés : être capable de calculer la probabilité d'une union d'événements incompatibles, comme le fait d'obtenir une valeur supérieure ou égale à un seuil donné.
- L'indépendance et les tirages avec remise : comprendre comment les probabilités se multiplient lors de la répétition d'expériences aléatoires identiques et indépendantes.
- L'utilisation de l'événement contraire : savoir traduire l'expression « au moins un » par le complémentaire de l'événement « aucun », une astuce indispensable pour simplifier les calculs de puissances.
Méthode et pièges au concours ACCÈS
Le concours ACCÈS présente une structure très particulière qu'il faut toujours garder à l'esprit. Chaque question comporte quatre affirmations qui peuvent être toutes vraies, toutes fausses, ou un mélange des deux. Dans ce type d'exercice sur les probabilités, le principal piège réside dans la lecture hâtive des énoncés. Par exemple, faites très attention aux termes « strictement inférieure » ou « supérieure ou égale », car une erreur d'interprétation vous conduira à utiliser la mauvaise colonne du tableau.
De plus, les calculs de fractions doivent être réalisés sans calculatrice. Prenez le temps de poser vos multiplications et vos additions de fractions avec un dénominateur commun. Dans les questions impliquant des tirages successifs, le piège classique est de confondre la probabilité de l'événement direct avec celle de son contraire. L'affirmation C, par exemple, teste directement votre vigilance sur la formulation de la probabilité d'obtenir « un ou plusieurs » succès.
Enfin, n'oubliez jamais le système de notation de l'épreuve de raisonnement logique et mathématiques. Une mauvaise réponse est lourdement pénalisée et vous fait perdre des points, tandis qu'une absence de réponse ne vous rapporte ni ne vous enlève de points. Si vous bloquez sur le calcul d'une espérance ou sur la formule d'un événement contraire avec des puissances complexes, il est souvent préférable de laisser la case vide plutôt que de cocher au hasard. Une erreur coûte plus cher qu'une abstention, alors gérez votre prise de risque avec intelligence.