Ce que demande cette question
La question 12 de l'épreuve de raisonnement mathématique du concours ACCÈS 2012 vous plonge dans une situation concrète et classique : l'analyse de la fiabilité d'un système composé de deux éléments, ici l'éclairage avant d'une voiture nécessitant deux lampes différentes. L'énoncé vous fournit les probabilités de défaillance individuelle de chaque lampe, ainsi que la probabilité que les deux tombent en panne simultanément. À partir de ces trois données numériques, vous devez évaluer la véracité de quatre affirmations distinctes.
La première affirmation vous demande de vérifier si les deux pannes sont des évènements indépendants d'un point de vue strictement mathématique. Les trois affirmations suivantes exigent de traduire des phrases en français courant vers des formules de probabilités. Vous devrez ainsi calculer la probabilité qu'au moins une des deux lampes soit défaillante, ce qui correspond à l'union de deux évènements. Ensuite, il vous faudra déterminer la probabilité que le système fonctionne parfaitement, c'est-à-dire que les deux lampes soient opérantes en même temps. Enfin, la dernière proposition vous invite à trouver la probabilité d'une situation asymétrique où la première lampe fonctionne tandis que la seconde est défaillante. Il s'agit donc d'un exercice complet de traduction et de calcul probabiliste élémentaire.
Les notions à maîtriser
Pour aborder cette question avec sérénité, vous devez connaître sur le bout des doigts les règles fondamentales du calcul des probabilités. Voici les concepts clés à mobiliser :
- L'indépendance de deux évènements : savoir vérifier si la probabilité de l'intersection est égale au produit des probabilités individuelles.
- La formule du crible (ou probabilité de l'union) : maîtriser l'expression reliant la probabilité de l'union, les probabilités simples et la probabilité de l'intersection.
- Les évènements contraires : comprendre comment calculer la probabilité qu'un évènement ne se produise pas, et savoir appliquer les lois de De Morgan pour les intersections d'évènements contraires.
- La partition de l'univers : être capable de décomposer un évènement en deux sous-évènements disjoints pour isoler la probabilité d'une configuration spécifique (l'un fonctionne et l'autre non).
Méthode et pièges au concours ACCÈS
Dans ce type de problème au concours ACCÈS, le piège le plus fréquent consiste à confondre l'incompatibilité et l'indépendance. L'énoncé ne dit pas que les pannes sont incompatibles, bien au contraire puisqu'une probabilité d'intersection non nulle est fournie. Ne vous fiez jamais à votre intuition sur la mécanique automobile pour déduire une indépendance ; seule l'application rigoureuse de la formule mathématique permet de trancher la première affirmation.
Une excellente méthode pour éviter les erreurs de calcul et de raisonnement consiste à modéliser la situation au brouillon avant même de lire les affirmations. Vous pouvez tracer un diagramme de Venn (les fameuses patates) ou construire un tableau de contingence à double entrée. En plaçant la probabilité de l'intersection au centre, vous pourrez facilement déduire toutes les autres probabilités par de simples soustractions. Cette approche visuelle rend les calculs d'union et d'évènements contraires évidents et immédiats.
Enfin, gardez toujours à l'esprit la spécificité du barème de l'épreuve de raisonnement logique et mathématiques du concours ACCÈS. Chaque question comporte quatre affirmations indépendantes à juger Vrai ou Faux. Une mauvaise réponse est lourdement pénalisée et vous fait perdre plus de points qu'une absence de réponse. Si vous parvenez à remplir votre tableau de probabilités, vous pourrez répondre aux quatre items avec certitude. En revanche, si un doute subsiste sur un calcul précis, par exemple sur la dernière affirmation, il est stratégiquement préférable de cocher la case correspondante à l'abstention plutôt que de risquer des points négatifs qui feraient chuter votre note globale.